文档介绍：螆 浅谈凸优化问题中的Bregman迭代算法肁分类:图像处理信号处理2013-06-0817:591117人阅读评论(3)收藏举报肇目录(?)[+]文档来自于网络搜索薆简介文档来自于网络搜索袄Bregman距离文档来自于网络搜索蒁Bregman迭代算法文档来自于网络搜索螈线性Bregman迭代算法文档来自于网络搜索蚇SplitBregman算法文档来自于网络搜索肂    对于搞图像处理的人而言,不懂变分法,基本上,就没法读懂图像处理的一些经典文献。当然,这已经是10年之前的事情了。文档来自于网络搜索袀     现在,如果不懂得Bregman迭代算法,也就没法读懂最近几年以来发表的图像处理的前沿论文了。国内的参考文献,基本上都是直接引用Bregman迭代算法本身,而对于其原理基本上找不到较为详细的论述。本文简要叙述当前流行的Bregman迭代算法的一些原理。文档来自于网络搜索薈蚈        近年来,由于压缩感知的引入,L1正则化优化问题引起人们广泛的关注。压缩感知,允许通过少量的数据就可以重建图像信号。L1正则化问题是凸优化中的经典课题,用传统的方法难以求解。我们先从经典的图像复原问题引入:文档来自于网络搜索芈    在图像复原中,一种通用的模型可以描述如下:  蒆蒃  羃     我们目标是从观测到的图像f,寻找未知的真实图像u,u是n维向量空间中的元素,f是m维向量空间中的元素。f在压缩感知的术语叫做测量信号。是高斯白噪声其方差为sigma^2。A是线性算子,例如反卷积问题中的卷积算子,压缩感知中则是子采样测量算子。文档来自于网络搜索聿     薇     上述方程中,我们仅仅知道f,其它变量都不知道的。而且这种问题通常情况都是病态的,通过引入正则项可以使之成为良态的。正则化方法假定对未知的参数u引入一个先验的假设,例如稀疏性,平滑性。正则化问题的常见方法Tikhonov方法,它通过求解下面的优化问题:文档来自于网络搜索袆                                                   蒂     其中mu是一个大于零的标量,事先设定的常数,用于权衡观测图像f和正则项之间的平衡。双绝对值符号是L2范数。文档来自于网络搜索蝿   莄    下面,为了引入Bregman迭代算法,需要对两个重要的概念进行描述。羄2. Bregman距离袂       薀莆      注意这个定义,它是对泛函J在u点的subgradient的定义,p点是其对偶空间的中的某一点。subgradient可以翻译为次梯度,子梯度,弱梯度等。等式左边最右边一项是内积运算。如果泛函J是简单的一元函数,则就是两个实数相乘。次梯度有什么好处呢?对于一般的导数定义,例如y=|x|在0点是不可导的,但是对于次梯度,它是存在的。文档来自于网络搜索肂       芁  上面的这个定义就是Bregman距离的定义。对于凸函数两个点u,v之间的Bregman距离,等于其函数值之差,再减去其次梯度点p与自变量之差的内积。要注意的是这个距离不满足对称性,这和一般的泛函分析中距离定义是不一样的。文档来自于网络搜索芀  蒇3. Bregman迭代算法 蒅    Bregman迭代算法可以高效的求解下面的泛函的最小 蚀                  羀    芅薃    上式中的第一项J,定义为从X到R的泛函,其定义域X是凸集也是闭集。第二项H,定义为从X到R的非负可微泛函,f是已知量,并且通常是一个观测图像的数据,所以f是矩阵或者向量。上述泛函会根据具体问题的不同具有不同的具体表达式。例如,对于简介中的图像复原啊问题,J(u)就是平滑先验约束,是正则化项;而H则是数据项。文档来自于网络搜索膀螁莆 羅   Bregman迭代算法首先是初始化相关的参数为零,再迭代公式u,其左边一项是泛函J的Bregman距离。再来看p点的迭代公式,其最右边一项是泛函H的梯度。文档来自于网络搜索袃   ,经过多次的迭代,就能够收敛到真实的最优解。这个证明过程可以参考后面的文献。文档来自于网络搜索芇   对于具体的问题,。例如对于压缩感知使用的基追踪算法,J是L1范数。而对于图像去噪问题,可能就是u的梯度L1范数,同时A也变成了恒等算子了。   羇膅     ,这一步的计算代价是很高的。,根据矩阵函数的泰勒公式,。文档来自于网络搜索膂蚂螈芆薅     注意,