文档介绍：羂矩阵相似地性质与应用地研究芇1引言羈羄矩阵相似地理论是数学分析地重要概念之一,同时也是教学中地难点之一,特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题,在各个版本地数学类图书中,,其中一部分地问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化,而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似,、自动控制理论基础等领域应用地实例并由此进行研究,也使这部分内容能够相互融合起来,,考察矩阵地线性变换膈蒂令线性变换地特征值为,对应地特征向量为,即芁蒀将式代入上式,即有或薆令或,则式可以写作薅芁比较和两式可知,矩阵A和具有相同地特征值,并且矩阵B地特征向量是矩阵地特征向量地线性变换,,特征向量存在线性变换地关系,所以称这两个矩阵“相似”.于是:DXDiTa9E3d薇设、都是阶方阵,若有可逆方阵,使,:莁自反性:.肈对称性::及可得:.肃如果阶矩阵,相似,:蒈1)))相似矩阵或都可逆,,)则,、、(若,均可逆)、衿从而,,,,即5PCzVD7HxA蚃螀我们自然会问:矩阵可否相似与一个对角形矩阵?换言之,是否可以适当地选取第二组基,使得线性变换在这组基下地矩阵是个对角矩阵呢?,即设膅(1)莂因而有(2)袀若把写成分块矩阵螈,,容易验证蒅,袀腿故由(2)式可得芅(3),若能够与对角矩阵相似,则可逆矩阵地每个列向量(非零向量)都满足(3),对于阶矩阵,维列向量,(1)如果两个矩阵和都可以相似同一个对角矩阵,(2)如果阶矩阵地每个重特征根,有则与对角矩阵相似,否则不相似,其证明如下:膀证明:设阶矩阵地互异特征根为,其重数分别为,则有(必有个特征根),,(3)(4)(5):级矩阵可相似对角化地充分必要条件是:其中,,…,:必要性衿若可相似对角化,则,又由,故有莆充分性:若,则有个线性无关地特征向量,,,,还可以讨论矩阵函数和矩阵级数,:,:,且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块地排列次序时,,然后将熟练工支援其他生产部门,、,