文档介绍：结构突变序列的单位根检验
。
在介绍单位根检验之前,先认识一下各种随机过程的表现形式。
(1)白噪声过程(white noise,如图1)。属于平稳过程。
yt = ut, ut ~ IID(0, s2)
图2是日元兑美元差分序列(收益序列),近似于白噪声序列。
(2)随机游走过程(random walk,如图3)。属于非平稳过程。
yt = yt-1 + ut, ut ~ IID(0, s2)
图4是深圳股票综合价格收盘指数序列,近似于随机游走过程。
随机游走的差分过程是平稳过程(白噪声过程)。Dyt = ut。
图1 白噪声序列(s2=1) 图2 日元兑美元差分序列
图3随机游走序列(s2=1) 图4深圳股票综合指数
图5 随机趋势非平稳序列(m = ) 图6 随机趋势非平稳序列(m = -)
“随机游走”一词首次出现于1905年自然(Nature)杂志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh 。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
(3)随机趋势非平稳过程(stochastic trend process)或差分平稳过程(difference- stationary process)、有漂移项的非平稳过程(non-stationary process with drift)。见图5和6。属于非平稳过程。
yt = m + yt-1 + ut , ut ~ IID(0, s2)
迭代变换,
yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = …= y0 + m t += m t +
因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势mt和一个随机游走组合而成,所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导,表现出很强的趋势性。yt围绕着mt变化,但不会回到mt。趋势的方向完全由m的符号决定。m为正时,趋势向上(见图5);m为负时,趋势向下(见图6)。对yt做一阶差分,Dyt = m + ut,为平稳过程。差分平稳过程由此得名。E(Dyt) = m。当yt表示对数变量时,E(Dyt)表示平均增长率。
随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。Dyt = m + ut 。
图7 退势平稳序列(m =0, a=) 图8 确定性趋势非平稳序列(m =, a=)
(4)趋势平稳过程(trend-stationary process)或退势平稳过程(见图7)。属于非平稳过程。
yt = m + a t + ut, ut ~ IID(0, s2)
因为该过程是由确定性趋势m + a t和平稳随机过程ut组成,所以称为趋势平稳过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去确定性时间趋势项at之后,过程变为平稳过程,所以也称退势平稳过程。
趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。Dyt = a + ut - ut-1 。所以应该用退势的方法获得平稳过程。yt - a t = m + ut。
(5)确定性趋势非平稳过程(non-stationary process with deterministic trend)(如图8)。属于非平稳过程。
yt = m + a t + yt-1+ ut, ut ~ IID(0, s2)
确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后,过程仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。
yt = m + a t + yt-1 + ut = m + a t + (m + a (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut
= …= y0 + m t + a t 2 - a (1+2 +…+ t) +
= y0 + m t + a t 2 -( 1+ t ) t +
= (m -) t +t 2 + (设定y0=0)
含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t的2次方过程。这种过程在经济问题中非常少见。
确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程,Dyt = m + a t + ut。确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程,yt - a t = m + yt-1+ ut。只有既差分又退势才能得到平稳过程,Dyt - a t = m + ut。
图9 对数的中国国民收入序列图10 中国人口序列
图9是对数的中稳序列和退势平稳序列。图10是中稳序列。
对于单位根过程(差分平稳)