文档介绍：基础班高等数学讲义第一章函数、极限、连续§ 函数(甲)内容要点一、,如果有一个对应规划f,对每一个,都能对应惟一的一个实数y,则这个对应规划f称为定义在D上的一个函数,记以y=f(x),称x为函数的自变量,y为函数的因变量或函数值,D称为函数的定义域,并把实数集称为函数的值域。,函数不能用同一个表达式表示,而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如是一个分段函数,它有两个分段点,x=-1和x=1,它们两侧的函数表达式不同,因此讨论函数y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时,必须分别先讨论左、右极限,左、右连续性和左、右导数。需要强调:分段函数一般不是初等函数,不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。=f(x)有函数称为显函数,由方程F(x,y)=0确定的y=y(x)称为隐函数,有些隐函数可以化为显函数(不一定是一个单值函数),而有些隐函数则不能化为显函数。=f(x)可以解出是一个函数(单值),则称它为f(x)的反函数,记以。有时也用表示。二、 y=C(常数)(α常数)(a>0,a≠1常数)(e=…,无理数)(a>0,a≠1常数)常用对数自然对数、性质及其图像非常重要,影响深远。例如以后经常会用;;;;等等,就需要对,,的图像很清晰。三、定义域X,值域U*如果,则是定义在X上的一个复合函数,其中u称为中间变量。。四、:设函数y=f(x)在X内有定义,若存在正数M,使都有,则称f(x)在X上是有界的。2. 奇偶性:设区间关于原点对称,若对,都有,则称在上是奇函数;若对,都有,则称在上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。3. 单调性:设在上有定义,若对任意都有,则称在上是单调增加的;若对任意都有,则称在上是单调不减。(注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。)4. 周期性:设在上有定义,如果存在常数,使得任意,,都有,则称是周期函数,称为的周期。由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中的最小正周期称为周期。(乙)典型例题一、求函数的定义域【例1】求函数的定义域。解要有定义,,要有定义,,因此,的定义域为【例2】求的定义域。解要有定义,和要有定义,,因此,定义域为【例3】设的定义域为,求的定义域。解要求,则,当时,,,则当时,,也即或【例4】设求的定义域,,要求,则;要求,则,于是的定义域为。又二、求函数的值域【例1】求的值域。解我们先求出反函数,它的定义域就是原来函数的值域。它的定义域,且所以原来函数的值域为。三、(x)和g(x),求f[g(x)].【例1】已知,, ()于是, ()【例2】设,,若,则根据数学归纳法可知,对正整数n,(x)和f[g(x)],求f(x).【例1】设,求f(x).解令,于是【例2】已知,且,求f(x).解令,因此,∵,∴四、有关四种性质【例1】设,则下列结论正确的是( ).(A)若f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数(B)若f(x)为偶函数,则F(x)为奇函数(C)若f(x)为周期函数,则F(x)为周期函数(D)若f(x)为单调函数,则F(x)为单调函数解(B)不成立,反例(C)不成立,反例(D)不成立,反例(A)成立。证明为奇函数,∴为偶函数。【例2】求解是奇函数,∵是奇函数,∵因此是奇函数。于是。【例3】两个周期函数之和是否仍是周期函数?解不一定(1) 周期为4π周期为6π∵4π和6π的最小公倍数为12π∴是以12π为周期的函数(2) 周期为π周期为2∵π和2没有最小公倍数∴不是周期函数(3) 周期为π周期为π虽然,不但都是周期函数,而且它们的周期有最小公倍数。但是,却不是周期函数。(因为没有最小正周期。)【例4】设,是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列结论成立的是( )(A)(B)(C)(D)解∵,∴单调减少于是x<b,则有,故(A)成立。§(甲)内容要点一、(1) (称数列收敛于A)任给,存在正整数N,当n>N时,就有.(2)任给,存在正整数X,当x>X时,就有.(3)任给,存在正整数X,当x>-X时,就有.(4)任给,存在正整数X,当|x|>X时,就有.(5)任给,存在正数,当时,就