文档介绍：芈第五章相似矩阵羆§1特征值与特征向量螂螃特征值是方阵的一个重要特征量,矩阵理论的很多结果都与特征值有关,在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。蚇定义1:设为阶方阵,如果存在数和维非0列向量,满足:蚆。袃则称是方阵的特征值(也称为特征根),是方阵的属于特征值的特征向量。袁例如矩阵,取,,则有,,所以1,0是的特征值,是分别属于特征值1和0的特征向量。肇(1)式又可以写成。蒇即特征向量是齐次线性方程组(2)的非零解,从而有羅。罿(3)称为方阵的特征方程,求解方程(3)即得矩阵的特征值。称为方阵的特征多项式。螀对求出的特征值,代入方程组(2)求解即得属于的特征向量。***例1:已知方阵满足,证明:的特征值只能为1或。螂证明:设是的任一特征值,则有非零向量,使得。莂两边左乘以,有。又,所以。由于,从而,即。艿例2:求矩阵的特征值与特征向量。袇解:因。螄所以矩阵的特征值或。蒀当时,虿,。莄故属于的特征向量为。袅当时,袂,。肈故属于的特征向量为。膄§2相似矩阵蚂定义2:若阶方阵和,存在一个可逆矩阵,使得。则称矩阵与相似,记为。羁对于相似矩阵,有下列性质:薈任一方阵,它与自身相似;袄若与相似,则与相似;蚄若与相似,与相似,则与相似;聿与相似,则。羇证明:只证4),因与相似,存在可逆矩阵,使得。从而蚅。螅如果方阵相似与对角形矩阵,则称可以对角化。并非每个方阵均可以对角化,例如矩阵,对任何2阶可逆矩阵,均不能为对角形矩阵。蒂下面给出一般方阵相似对角形的条件。莆若相似对角形,则有莅记,由(4)式可得薂薀即肀。肆从而。蚄由定义知为的特征值,由可逆知为非零向量,且线性无关。所以它是属于的特征向量。以上过程可逆,故存在下面定理。羂定理1:阶方阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。葿该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件,但如何找出个线性无关的特征向量,则需要下列一些结果。袆定理2:方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。莁证明:设是分别属于不同特征值的特征向量,当时,命题成立。肁设当时命题成立,羈则当时,设有薆(5)式乘以,有蒃莁再对(5)式两边左乘以,有葿蒈(6)(7)得蚆。蚃由归纳假设,线性无关。从而。衿由于,所以,代入(5)式,得。艿即线性无关,故命题成立。从而定理得证。蒃推论1:阶方阵有个不同的特征值,则一定可以对角化。螁实际计算中,先求出阶方阵的全部特征值,再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。若这个“大”向量组中向量个数等于,则可以对角化,若向量个数小于,则不能对角化。莈例3:判别下列矩阵是否可以对角化罿1);2)。薄解:1)。膄特征值为,(二重根)。肁当时,蒅,。薆当时,节,,蒁所以相似于对角形。取,则有。膆(2),莃特征值为(三重根)。莀当时,袀,,。羆故不能对角化。蒄例4:已知是矩阵的一个特征向量。螃求和对应的特征值。芀问能否相似对角形蚇解:1)因是的属于特征值的特征向量,则有蒆。袁从而解得。蝿2)因,,蒇所以特征值(三重根)。又芃芄基础解系中仅含一个线性无关的向量,故不能对角化。膈***§3实对称矩阵的对角化莅莂上一节提到,并非每个方阵均可以对角化,这一节介绍一类能对角化的矩阵——实对称矩阵。袂记表示向量中每个分量取其共轭复数所构成的向量,为矩阵中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵,则。袈性质1:实对称矩阵的特征值为实数。蒆证明:因是实对称矩阵,所以。蒀设是的特征值,则有向量,使得,且有。芁考虑,蚈另一方面,。膃。袃,,。即为实数。螀性质2:设,是实对称矩阵的两个不同特征值,是分别属于,的特征向量,则与正交。莈证明:,(),芅考虑。羁又。膀从而。即与正交。腿定理3:任一阶实对称矩阵一定存在正交矩阵,使得莆。莄这里是的特征值。蕿证明:时,命题成立。衿设时命题成立。即对阶实对称矩阵有正交矩阵,使得膃。蒂下面证明在时命题也成立。罿由性质1,实对称矩阵一定存在实的特征值,取是属于的单位特征向量,将扩充成的标准正交基,记,则莆。膅由对称,可得对称。从而,仍为阶对称矩阵。由归纳假设存在正交矩阵,使得。令,则正交,且。薀实际计算中,对每个不同的特征值,求出它们线性无关的特征向量,再进行施密特正交化得到正交向量组。合并这些单位化了的正交向量组可构成的标准正交基,把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为,则有蒈。肆例5:设,求正交矩阵,使得为对角形。芆解:,羃特征值为,(二重根)膁当时,袆,。单位化得;肄当时,肁,,。它为正交向量组,薁单位化得,。薇取,则正交,且有肅。蒃例6:已知三阶实对称矩阵有两特征值,(二重根),属于