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欧拉公式的应用.doc

上传人:nnejja93 2019/4/20 文件大小:659 KB

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欧拉公式的应用.doc

文档介绍

文档介绍:绪论本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式,,在数学领域内的应用范围很广,本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究,欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时,可以避免复杂的三角变换,,利用欧拉公式大降幂,能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,:欧拉公式三角函数降幂级数三角级数目录绪论 。目录 。一、绪论 1二、欧拉公式的证明、特点、作用 1三、欧拉公式在三角函数中的应用 4(一)倍角和半角的三角变换 4(二)积化和差与差化积的三角变换 4(三)求三角表达式的值 5(四)证明三角恒等式 6(五)解三角方程 7(六)利用公式求三角级数的和 7(七)探求一些复杂的三角关系式 8(八)解决一些方程根的问题 9(九)欧拉公式大降幂 10结束语 15一、绪论欧拉公式形式众多,有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、、欧拉积分等多种形式、立体几何、,在数学领域中的应用范围很广,本文只介绍欧拉公式的一种形式“”、欧拉公式的证明、特点、作用1748年,欧拉在其著作中陈述出公式,欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中,,,也是一个难点,但由于三角恒等变换所用公式众多,,将三角函数化为复指数函数,从而将三角变换化为指数函数的代数运算,从而使得问题简单化,并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用,,好多《复变函数》教科书上,是以复幂级数为工具,:,,,,,所以,而,:.欧拉公式还可以推广到以下形式:已知欧拉公式其中为实数,则由式得则得:得::实质上,这些公式给出了三角函数的复指数形式,故代入三角变换中,便将三角运算化为指数函数的代数运算,使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法,,与互为倒数,积为1,,分别令,得到以下式子:.欧拉公式的桥梁作用:(1)纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如,,,,.由欧拉公式可以看出,在复数域内,指数函数是周期函数,具有基本周期.(2)任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示,,,得到,由上式容易看出正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.(3)引出复数的指数表示法,从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式,(一)倍角和半角的三角变换在此类型的题目中,大都用到以下两个技巧: 右所以原式成立.(二)积化和差与差化积的三角变换例2计算:.(三)求三角表达式的值例3已知,求的值:解原式由代入上式消去原式对所以原式.(四)证明三角恒等式例4证明为方便计算令,:证明而.(五)解三角方程例6解方程解把代入得:.由欧拉公式得:,经整理得:,,,,.所以,代入式得到,由此即得到方程的解.(六)利用公式求三角级数的和在三角级数中,按常规方法求和常常是很麻烦的,:,.(七),注意到,得到,故有