正确熟练地掌握辅助线的作法和规律.doc

文档介绍：正确熟练地掌握辅助线的作法和规律,也是迅速解题的关键,如何准确地作出需要的辅助线,简单介绍几种方法:
方法一:从已知出发作出辅助线:
D
A
B
C
E
F
M
N
:在△ABC中,AD是BC边的中线,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,求证:AF=
分析:题设中含有D是BC中点,E是AD
中点,由此可以联想到三角形中与边中点有密
切联系的中位线,所以,可有如下2种辅助线作法:
(1)过D点作DN∥CA,交BF于N,可得N为BF中点,由中位线定理得DN=,再证△AEF≌△DEN,则有AF=DN,进而有AF=
(2)过D点作DM∥BF,交AC于M,可得FM=CM,FM=AF,则有AF=
方法二:分析结论,作出辅助线
A
B
D
C
E
例2:如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,
求证:AB·AC=AE·AD
分析:要证AB·AC=AE·AD,需证
(或),需证△ABE∽△ADC(或△ABD∽△AEC),
这就需要连结BE(或CE),形成所需要的三角形,同时得
∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C(或∠B=∠E)
因而得证。
方法三:“两头凑”(即同时分析已知和结论)作出辅助线
A
B
C
D
E
F
M
例3:过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;
求证:AE∶ED=2AF∶FB
分析:已知D是BC中点,那么在
三角形中可过中点作平行线得中位线;
若要出现结论中的AE∶ED,则应有一条与EF平行的直线。所以,过D点作DM∥EF交AB于M,可得,再证BF=2FM即可。
方法四:找出辅助线的一般规律,将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。
例如:在“圆”部分就有许多规律性辅助线:
(1)有弦,作“垂直于弦的直径”
A
B
C
D
E
O
·
例4:已知,如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,求证:AC=BD
分析:过O点作OE⊥AB于E,则
AE=BE,CE=DE,即可证得AC=BD
A
B
C
D
E
1
2
·
O
(2)有直径,构成直径上的圆周角(直角)
例5:已知:如图,以△ABC的AC边为直径,
作⊙O交BC、BA于D、E两点,且,
求证:∠B=∠C
分析:连结AD,由于AC为直径,则有AD⊥BC,又,有∠1=∠2,由内角和定理得∠B=∠C
(3)见切线,连半径,证垂直
A
B
C
D
O
1
2
3
·
例6:如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,求证:AC平分∠DAB
分析:连结OC,由于CD为切线,可知
OC⊥CD,易证:∠1=∠2,又因为∠2=∠3,
所以∠1=∠3,则可得AC平分∠DAB
(4)证切线时,“连半径,证垂直”或“作垂直,证半径”
例7:已知,直线AB经过⊙O上的一点,并且OA=OB,CA=CB;
A
B
C
O
求证:直线AB是⊙O的切线
分析:连结OC,要证AB是⊙O的切线,
需证OC⊥AB,由已知可证△OAC≌△OBC,
可得∠OCA=∠OCB=900,结论得证。
例8:已知,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,BC是⊙O的直径,BC=CD+AB,
A
B
C
D
O
·
E
求证:AD是⊙O的切线
分析:过O点作OE⊥AD,垂足为E,
要证AD是⊙O的切线,只要证OE是⊙O的半径即可,
也就是说需要证OE=,由于∠A=900,AB∥CD,可得AB∥CD∥OE,再由平行线等分线段定理得DE=EA,进而由梯形中位线定理得OE=,所以E点在⊙O上,AD是⊙O的切线。
(二)练习
1、已知: 如图,在△ABC中,AD=DB,AE=EC.
求证: DE∥BC,DE=BC.
2、已知: ,在梯形ABCD中,
AD∥BC,AE=BE,DF=CF.
求证: EF∥BC,EF=(AD+BC).
3、已知:,在△=DB,BE=EC,AF=FC.
求证:AE、DF互相平分。
4、如图:已知:AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,M为上一点,AM的延长线交DC的延长线于F,
求证:∠AMD=∠FMC
与圆有关的辅助线常规作法解析
与圆有关的几何问题,几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质,题型的复杂程度可想而知。为此,常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形,从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法,现就圆中辅助线的常