文档介绍：设计
论文题目:
矩阵的正定性及其应用
学生姓名:
学生学号:
专业班级:
学院名称:
2011年4月6日
矩阵的正定性及其应用
摘要:
矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,,,在第一章,,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例.
关键字:矩阵实矩阵正定性应用
Matrix's qualitative and its application
Abstract
Matrix is qualitative can from solid matrix plex matrix two aspects elaborated, due plex matrix more tedious and some properties plex matrix can have a matrix on get, so here is mainly expounds the matrix is qualitative and application. Based on the introduction of a matrix of the definition and is qualitative identification method, simple cited some examples to described the application of matrix is qualitative.
Key words: matrix; real matrix; qualitative; application
目录
摘要-----------------------------------------------------------2
Abstract-------------------------------------------------------3
一、二次型有定性的概念--------------------------------5
二、矩阵正定性的一些判别方法-----------------------5
三、几个简单的例题--------------------------------------7
实矩阵正定性的一个简单应用--------------------8
结语-----------------------------------------------------------10
参考文献-----------------------------------------------------11
致谢-----------------------------------------------------------12
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵之二次型
(1) 如果对任何非零向量, 都有(或)成立,则称为正定(负定)二次型,矩阵称为正定矩阵(负定矩阵).
(2) 如果对任何非零向量, 都有(或)
成立,且有非零向量,使,则称为半正定(半负定)二次型,矩阵称为半正定矩阵(半负定矩阵).
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定).
,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
矩阵正定性的一些判别方法
定理 1 设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.
定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是.
定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.
定理4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数
定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是:存在非奇异矩阵, 。
推论1 若为正定矩阵, 则.
定理6 秩为的元实二次型, 设其规范形为
则:
(1) 负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)
(2) 半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)
(3) 半负定的充分必要条件是(即)
(4) 不定的充分必要条件是(即)
定义2 阶矩阵的个行标和列标相同的子式
称为的阶顺序主子式.
定理7 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.
注:(1) 若是负定矩阵,则为正定矩阵,。
(2) 是负定矩阵的充要条件是:
其中是的阶顺序主子式.
(3) 对半正定(半负定)矩阵可证明以下三个结论等价:
a