文档介绍：羁芅一、带余除法的定义及性质:薃一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,膀0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:蒇(1)当时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商芆(2)当时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商蚂一个完美的带余除法讲解模型:蕿如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。芇这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。莇二、三大余数定理:,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。羈例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等膅于4,即两个余数的和3+,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。蚂例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。薅例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。肁当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。蒈例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。薁同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:腿若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除肅用式子表示为:如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)肅三、弃九法原理:羀在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:罿例如:检验算式膆1234除以9的余数为1膄1898除以9的余数为8荿18922除以9的余数为4虿678967除以9的余数为7膈178902除以9的余数为0节这些余数的和除以9的余数为2肃而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。蒀上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。羅而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。蚅所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。蒂以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。膀利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用肆注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。螃例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的羂但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。羁四、中国剩余定理::荿中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”蚅此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。蚁韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。腿我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?蒈首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。肄孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese