文档介绍：第八讲蒙特卡罗方法蒙特卡罗(MonteCarlo简称MC)方法又称随机抽样法(RandomSampling)、随机模拟(RandomSimulation)或统计试验法(StatisticTesting)。这个方法的起源可以追溯到十七世纪或更早的年代。MonteCarlo是摩纳哥(Monaco)的一个著名城市,位于地中海之滨,以旅游赌博闻名。VonNeumann等人把计算机随机模拟方法定名为MonteCarlo方法,显然反映了这种方法带有随机的性质。简单地说,MC方法是一种利用随机统计规律,进行计算和模拟的方法。它可用于数值计算,也可用于数字仿真。在数值计算方面,可用于多重积分、线性代数求解、矩阵求逆以及用于方程求解,包括常微分方程、偏微分方程、本征方程、非齐次线性积分方程和非线性方程等。在数字仿真方面,常用于核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及实验核物理、高能物理、统计物理、真空、地震、生物物理和信息物理等领域。§,请先看使用MC方法的几个例子。蒲丰投针问题:蒲丰(Buffon-法行线束,向平面上投掷长为的针,试求针与一平行线相交的概率。这个问题的解法如下:以M表示落下后针的中点,表M与最近一平行线的距离,表针与此线的交角,见上图。可见,这两式决定平面上一矩形R;为了使针与一平行线(这线必定是与针中点M最近的平行线)相交,充分而且必要条件是这个不等式决定R中一个子集G。因此,,得此式提供了求值的一个方法:可以通过投针事件求得针与平行线相交概率P,求得值:()若投掷次数为m,针与平行线相交的次数为n,那么即于是,:(打靶游戏):设表示射击运动员的弹着点到靶心的距离,表示击中处相应的得分数(环数),分布密度函数表示该运动员的弹着点分布,它反映运动员射击水平。积分()表示这个运动员的射击成绩。用概率语言说,就是随机变量的数学期望值,记为。现在,假设这个射击运动员射击N次,弹着点依次是环数分别为,则自然地认为N次射击得分的平均值()这个平均值相当好地代表了这个射击运动员的成绩。换句话说,是积分()式的一个估计值(或近似值)。这个例子通常称为打靶游戏,它直观地说明了蒙特卡罗方法计算定积分的基本思想。为进一步阐明这个思想,我们再举个例子:计算积分()直观上,就是在边长为1的正方形里随机投点,当点落在曲线下面,对积分值有“贡献”,否则对积分值无“贡献”。为此,假设向这个边长为1的正方形里随机投点N次,点落在曲线下面n次,则()式积分值近似为来近似。从上述几个例子可以看到,当所要求解的问题是某种事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,它们可以通过某种“试验”的方法,得到这种事件出现的频率,或者这个随机变量的平均值,并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。所以用蒙特卡罗方法求解问题时,首先要建立一个随机模型,然后要构造一系列的随机数用以模拟这个过程,最后要作统计性的处理。关于建立随机模型,因问题而异。(必然发生)、不可能事件(恒不发生)和随机事件(可能发生也可能不发生),事件发生的可能性大小用概率表示。必然事件的发生概率为1,不可能事件的概率为零;随机事件发生的概率。由于测量的随机误差和物理现象本身的随机性。一次测量得到的某个值是随机的,因此,实验观测的物理量是随机变量,,描写随机事件A发生的概率用来表示,显然,.经常碰到的随机变量有两类:一类是离散型随机变量,这种随机变量只能取有限个数值,能够—一列举出来;另一类是连续型随机变量,:()来描写,它表示取值的概率为().即(),因此不能象离散型随机变量那样,用分布列来描写它的概率分布,,如果极限()存在,则函数描写了在点的概率密度,把叫做随机变量的概率分布密度,,随机变量落在内的概率可写