文档介绍：2. 以直线为母线的旋转面
当母线是直线并与轴线平行时,旋转面为圆柱面。可以用球旋转面的方法求圆柱面的方程。
(1)圆柱面
圆柱面是到轴线的距离等于定长(半径)的点的轨迹。母线到轴线的距离是圆柱面的半径。
如果知道对称轴和半径,用点到轴线的距离求方程更快些。
设对称轴过点
M0(x0 ,y0 , z0 ) ,方向(也就是母线方向)
,
u
)
,
(
n
m
l
,
为
×
u
M0M
u
=
r
.
则点M 在圆柱面上的充要条件是
练习已知圆柱面的轴线为
点在圆柱面上,求其方程。
过点
平行于
u
则点M (x,y,z)在柱面上的充要条件是
×
u
M0M
=
×
u
M0M1
求得方程为
解
当母线与轴线相交并垂直时,旋转面为平面。
(2)圆锥面
当母线与轴线相交但不垂直时,旋转面为圆锥面。母线与轴线的交点称为锥顶,夹角称为半顶角。圆锥面由轴线、锥顶和半顶角三个因素决定。
点M 在锥面上
由此可以得到锥面的方程。
a
或
> =
<
M
M
,
0
u
已知顶点为M 0 ,轴线一个方向,半顶角a ,则
u
即
a
cos
,
cos
0
=
>
<
M
M
,
u
显然这个圆锥面的顶点为原点O,
并且坐标都是正的,所以
设轴l 的方向为
u
,
(l,m,n)
即
轴l 的一个方向向量为(1,1,1),
因为点在这个圆锥面上的充分必要条件是
,
cos
,
cos
1
>
<
=
>
<
e
OM
u
u
于是
就是所求的圆锥面的方程。
已知圆锥面的轴线在Ⅰ和Ⅶ卦限,并且三个坐标轴都在此圆锥面上,求圆锥面的方程。
例3
即
OM
u
•
u
OM
=
•
e
1
u
u
解
,
,
,
,
3
2
1
>
<
=
>
<
=
<
e
e
e
u
u
u
>
1
=
=
e
u
•
2
e
u
•
,
3
e
u
•
且使l2与 x 轴的交点为
的公垂线
设和的距离为d 。以为z 轴,以和
为x 轴,
建立一个右手直角坐标系。
,
z
x
y
o
解
则的方程为
这是一个旋转单叶双曲面。
此曲面还可以看成哪个坐标面上的曲线绕一个
坐标轴旋转产生的?
求得此旋转面的方程为
(3)旋转单叶双曲面
补例设和是两条异面直线,且不垂直。求绕旋转
所得曲面的方程。
1
l
一般的,任何一个旋转单叶双曲面
可以看成那条直线绕z轴旋转产生的?
可以看成由直线
绕z 轴旋转所得,
也可以看成由直线
绕z 轴旋转所得。
这说明旋转单叶双曲面,可以分别由两族直线构成,以后我们将讨论一般的单叶双曲面,并证明任何一个单叶双曲面都有两族直母线。
当母线与轴线异面并垂直时,旋转面是将与轴线垂直的平面上去掉以轴线为中心的一个环形区域所剩的部分。
一条直线沿着一条空间曲线平行移动时所
形成的曲面称为柱面。称为母线, 称为准线。
点M (x,y,z ) 在柱面上
柱面
1. 定义及方程的建立
由一族平行直线构成的曲面称为柱面。称这些直线
为它的直母线。柱面上的一条曲线,如果与每一条直母线都相交,称它为柱面的一条准线。
过点M 与平行的直线与准线相交
u
存在实数 t 使得
向量
准线方程为
设在一个仿射坐标系中,柱面平行于
,
u
)
,
(
n
m
l
,
u
练习
求准线为
母线方向为(-1,0,1)
的柱面的方程。
解
准线的方程可以化简为
消去
得柱面方程
点在此柱面上的充分必要条件存在t 使得
从中消去t,,得x,y,z 满足的方程,是S的一般方程。
2. 母线平行于坐标轴的柱面方程的特点
在仿射坐标系中,若一个柱面的母线平行于 z 轴(或x 轴,
或y 轴)则它的方程中可以不含z(或x ,或y);反之,一个三元
方程如果不含 z(或x ,或 y),则它的图像是母线平行于z 轴(或x 轴,或y轴)的柱面。
证明
设一个柱面的母线平行于 z 轴,
从而这个柱面与 xoy面的交线可以作为
准线,
设方程是
则这个柱面的每条母线必与 xoy面相交,
O
柱面的方程为
则由
得
反之,任给一个不含z 的三元方程,
为准线,母线平行于 z 轴的柱面,
曲线:
我们考虑以
母线平行于 x 轴或 y 轴的情形类似。
由前面的议论知,这个柱面的方程为
因此,方程
表示一个母线平行于z 轴的