文档介绍：★用相似变换将实对称阵的对角化§4实对称阵的相似矩阵下页并不是任何矩阵都能进行相似对角化,但实对称矩阵一定能够相似对角化,本节通过总结实对称矩阵的几个特征,说明它一定能相似对角化。证定理6上页下页返回定理5实对称阵的特征值是实数。定理7设A为n阶对称阵,λ是A的特征方程的r重根,则方阵A-λE的秩R(A-λE)=n-r,从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。定理8设A为n阶实对称阵,则必有正交阵P,使P-1AP=Λ,其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角阵。证设A的互不相等的特征值为λ1,λ2,…,λs,它们的重数依次是r1,r2,…,rs(r1+r2+…+rs=n).上页下页返回根据定理5及定理7知,对应特征值λi(i=1,2,…,s),恰有ri个线性无关的实特征向量,把它们正交并单位化,即得ri个单位正交的特征向量,由(r1+r2+…+rs=n),知这样的特征向量共可得n个。按定理6知,对应于不同的特征值的特征向量正交,故这n个单位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成的矩阵P是正交阵,并有其中对角阵Λ的对角元素含r1个λ1,…,rs个λs,恰是Λ的n个特征值。上页下页返回解例11上页下页返回上页下页返回于是得正交阵上页下页返回综上所述,求正交矩阵P,使成为对角矩阵的具体步骤如下:(1).求A的特征值;(2).求A的特征值对应的n个线性无关的特征向量;(3).将重特征值所对应的特征向量正交化,连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量;(4).将(3)中n个特征向量单位化,得到n个两两正交的单位特征向量;(5).以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵,且有上页下页返回注意:(1).对角矩阵Λ的对角元要与P的列向量按顺序排列;(2).在求重特征值的特征向量时,应尽可能避免正交化过程。即求解齐次线性方程组的基础解系时,取两两正交的基础解系。上页下页返回