文档介绍：第一章行列式
线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的,它是一个重要的数学工具,它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求:了解行列式的定义和性质,掌握利用行列式的性质及按行(列)展开定理计算行列式的方法,会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默(Cramer)法则。
本章的重点及难点:利用行列式的性质及按行(列)展开定理计算行列式的值,主要是三阶、四阶行列式的计算;利用克拉默法则求解线性方程组。
§ 1 二阶、三阶行列式
一、内容提要
其中称为行列式的元素,的两个下标表示该元素在行列式中的位置,第一个下标称为行标,表明该元素位于第i行;第二个下标称为列标,表明该元素位于第j列。
二阶行列式中,等式右端的表达式又称为行列式的展开式,二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到,即:
=
其中,实线上两个元素的乘积带正号,虚线上两个元素的乘积带负号,所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到,三阶行列式的对角线法则如下图所示:
其中每一条实线上三个元素的乘积带正号,每一条虚线上三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析
例1 求解二元线性方程组
解: 由于系数行列式
,
所以方程组有唯一解为: , 。
例2 计算行列式
解
例3 计算行列式
;; ;
解: 由对角线法则有: ;;
;
特别地: ;
三、小结
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。
由例3得结论:
(1)上(下)三角行列式等于主对角线上元素的乘积。
(2)对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
§ 2 全排列及其逆序数
一、内容提要
排列把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列,简称排列.
n 个不同元素的所有排列的种数,通常用表示.
。
逆序在一个排列中,若,则称这两个数组成一个逆序.
逆序数排列中,所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为。
排列中,考虑元素,如果比大的且排在前面的元素有个,则称元素的逆序数是。记为。
奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地,标准排列1,2,···,n的逆序数。
规定,标准排列是偶排列。
二、例题分析
排列中,考虑比大,且排在前面的元素的个数,就可以排列的逆序数。即
(前面比大的数的个数)+(前面比大的数的个数)+ ···
··· + (前面比大的数的个数)
;
同样,考虑比小,且排在后面的元素的个数,就可以排列的逆序数。即
(后面比小的数的个数)+(后面比小的数的个数)+ ···
··· + (后面比小的数的个数)。
例4 求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性。
(1)5 3 2 1 4; (2)n (n–1) ···2 1; (3)(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k。
解:(1)5 3 2 1 4
,,,,。
因此,。此排列为奇排列。
(2)n (n–1) ···2 1
,,,···,,,
。
因此,。
当时,排列为偶排列;
当时,排列为奇排列。
(3)(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k
, , ,
, ,
······, ······,
, , 。
因此,
。
当k为偶数时,排列为偶排列;
当k为奇数时,排列为奇排列。
例5 设的逆序数为k,问排列的逆序数是多少?
解:若在排列中,后面比小的数共有个,则在排列中,前面的数共有个,前面比大的数共有个。由已知有
。
所以排列的逆序数为
。
三、小结
求排列的逆序数的方法:
(1)(前面比大的数的个数)+(前面比大的数的个数)+ ···
··· + (前面比大的数的个数)
;
(2)(后面比小的数的个数)+(后面比小的数的个数)+ ···
··· + (后面比小的数的个数)。
§ 3 n阶行列式的定义
一、内容提要
由n2个元素组成的记号
称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和,各项的符号是:当这一项中的n个元素的行标排成标准排列后,若对应的列标构成的排列为偶数,则取正号;若对应的列标构成的排列为奇数,则取负号,即
。
行列式简记为。
一阶行列式为。
n阶行列式中,等式右端的表达式又称为行列式的展开式,
二、例题分析
例6 判别和是否为六阶行列式中的项。
分析:判别是否为