文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse蕿第二节洛必达法则薀人物介绍:洛必达(L'Hospital)(1661—1704)法国数学家羅“第一本微积分课本出版于1696年,它是由洛必达写的.”莂──伊夫斯薂“求分子分母同趋于零的分式极限的‘洛必达法则’是约翰·伯努利1694年告诉洛必达的.”蚀──摘自梁宗巨编著的《世界数学史简编》;,他拥有圣梅特(SaimteMesme)侯爵昂特尔芒(d′Entremont),因眼睛近视而自行告退,,,并且是约翰·伯努利(JohannBernoulli)的高徒,成功地解答过约翰·伯努利提出的“最速降线”──《用于理解曲线的无穷小分析》,因此,美国史学家伊夫斯(Eves)说:“第一本微积分课本出版于1696年,它是由洛必达写的.”后来多次修订再版,为在欧洲大陆,特别是在法国,,,先给出了如下定义和公理:“定义1,称那些连续地增加或减少的量为变量,……”“定义2,一个变量在其附近连续地增加或减少的无穷小部分称为差分(微分),……”然后给出了两个公理,第一个说,几个仅差无穷小量的量可以相互代替;第二个是说,把一条曲线看作是无穷多段无穷小直线的集合,……在这两个公理之后,,并给出了许多例子,、极小问题,其中包括一些从力学和地理学引来的例子,接着讨论了拐点与尖点问题,·:约翰·伯努利在1691年─1692年间写了两篇关于微积分的短论,,他答应为年轻的洛必达侯爵讲授微积分,定期领取薪金,,·伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得,撰写了《用于理解曲线的无穷小分析》.这部著作不但普及了微积分,而且帮助约翰·,在这部书的第九章中有求分子分母同趋于零的分式极限的法则,即所谓“洛必达法则”:衿如果是可微函数,,是用文字叙述的,相当于断言,他的结论是:如果把给定曲线的纵坐标“表示为一个分式,且x取到极限时分子和分母都等于零”,那么“如果求出分子的微分,再除以分母的微分,最后在其中令自变量去极限,便得到值”.这个法则实际上是约翰·,是后人对洛必达法则所作的推广(例如,后几个未定式的法则就是后来欧拉(Euler)给出的),但现在都笼统地叫做“洛必达法则”.膈洛必达曾计划出版一本关于积分学的书,但在得悉莱布尼茨也打算撰写这样一本书时,——《圆锥曲线分析论》,,,、型未定式罿定理1、(法则一)设函数,满足:芅(1)在点的某去心邻域内可导,且;羆(2);羂(3)存在或为无穷大,聿则有。蚆证明:分别对,做延拓。令蒄对,在或上用柯西中值定理即可。蚁如果为无穷大,利用它的倒数关系,也有。腿推论:设函数,满足:肇(1)当足够大时,和存在,且;膅(2);葿(3)存在或为无穷大,腿则有。蒇例1、薃例2、蒂例3、艿例4、薄二、型未定式芅定理2、(法则二)设函数,满足:芁(1)在点的某去心邻域内可导,且;荿(2);羅(3)存在或为无穷大,螃则有。肀当,,也有类似的结果。蒈例5、(,)莆例6、()蒅由以上两例说明了当时,肃例7、薈此例说明洛必达法则是函数极限存在的螇条件。羃三、其它未定式袂(1)型:或蚈(2)型:膈(3)型:蚅(4)型:蚁(5)型:螈说明:对于以上的极限过程,都可以推广到单侧极限过程。莅例8、()肃例9、莀例10、螈通常求未定式的步骤归纳如下(不完全是):螆1、考察所求的极限是否为不定式,若不是,用前面所学的法则;若是,变形为或者;