文档介绍：螂数值分析第一次上机练****实验报告艿——Lagrange插值与三次样条插值袀蒅问题的描述肄设,,取,.试求出10次Lagrange插值多项式和三次样条插值函数(采用自然边界条件),并用图画出,,.羂方法描述——Lagrange插值与三次样条插值莆我们取,,通过在点的函数值来对原函数进行插值,我们记插值函数为,要求它满足如下条件:薆(1)芃我们在此处要分别通过Lagrange插值(即多项式插值)与三次样条插值的方法对原函数进行插值,看两种方法的插值结果,并进行结果的比较。莁10次的Lagrange插值多项式为:膆(2)莄其中:莁袁以及袇莅我们根据(2)进行程序的编写,我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagrange插值。蚃 理论上我们根据区间上给出的节点做出的插值多项式近似于,而多项式的次数越高逼近的精度就越好。但实际上并非如此,而是对任意的插值节点,当的时候不一定收敛到;而是有时会在插值区间的两端点附近会出现严重的偏离的现象,即所谓的Runge现象。因此用高次插值多项式近似的效果并不总是好的,因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项式插值,而用分段低次插值,而这样的插值效果往往是非常好的,能够克服高次多项式插值的弱点,达到令人满意的效果。芀分段低次插值包括分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值等。前两种插值函数都具有一致收敛性,但是光滑性较差,而在实际问题中我们往往要求函数具有二阶光滑度,即有二阶连续导数。而对第三种插值方式,我们得到的是一个样条曲线,它是由分段三次曲线拼接而成,在连接点(即样点)上二阶导数连续。薇我们记三次样条插值函数为,它在每个小区间上是三次函数,因此在每个区间上需要确定4个参数,总共有10个小区间,因此共需确定40个未知参数。首先我们有插值条件:蒆(3)袂其次在每个节点上满足连续性条件:蚀(4)莈此外在端点处满足自然边界条件:芄(5)膄我们假设。则在每个小区间上:聿(6)肈其中:芅芃及螂袈我们利用边界条件(3)(4)(5)可以得到:莇(7)蒁其中:节蕿以及膄螃两端点处的边界条件为:蚁(8)荿将边界条件写成矩阵形式为:膅(9)袂其中根据自然边界条件(8)有:肀聿我们解方程(9)就可以得到,将他们代入(6)就可以得到各段区间上的的值。芇芄方案设计蒀我们通过编写Matlab程序来进行10次Lagrange插值与三次样条插值的工作。;,给它任一个,此程序将返回的值;(9)计算各节点二阶导数值的子程序文件,它将会返回在自然边界条件下的各节点的二阶导数值;(6)计算三次样条插值函数的子程序文件。然后运行主程序将给出三幅曲线图,分别是与曲线,与曲线,以及、与三条曲线共同画在一幅图上得到的图象。袀解决这个问题的思路很简单,按部就班的来就可以。首先我们计算各节点上的函数值以备后用,。随后我们给出一系列的值,计算,。然后根据我们得到的数据绘图观察插值结果。具体程序的实现可参见所给程序的相关注释。肄计算结果及其分析莂下面是我们根据程序计算结果得到的数据,其中分别给出了在各典型