文档介绍：第二十五讲整体的方法
我们知道成语“一叶障目”和“只见树木,不见森林”,它们的意思是说,如果过分关注细节,而忽视全局,我们就不会真正理解一个问题.
解数学题也是这样,在加强对局部的研究与分析的基础上,,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理.
整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用,整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用.
例题求解
【例1】若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001,则分式的值为.(安庆市竞赛题)
思路点拨原式=,视x+3 y与x+y+z为两个整体,对方程组进行整体改造.
【例2】若△ABC的三边长是a、b、c且满足,,,则△ABC是( )
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨三个等式结构一样,孤立地从一个等式入手,都导不出a、b、c 的关系,不妨从整体叠加入手.
【例3】已知,求多项式的值.
思路点拨直接代入计算繁难,由已知条件得,两边平方有理化,可得到零值多项式,整体代入求值.
【例4】如图,凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中,∠Al=∠A5,∠A2 =∠A6 ,∠A3 =∠A7 ,∠A4=∠A8,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
(山东省竞赛题)
思路点拨将八边形问题转化为熟悉的图形来解决,想象完整四边形截去4个角就得到八边形,就可知向外作辅助线,关键是证明对边平行.
【例5】已知4×4的数表,如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号,称为一次变换,试问能否经过有限次变换,使表中的数全变为正数?
思路点拔若按要求去实验,则实验次数不能穷尽,每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号,但并不改变这4个数乘积的符号,这是解本例的关键.
注由“残部”想“整体”,修残补缺,向外补形,恢复原形,将其拓展为范围更广的、其特征更为明显,更为熟悉的几何图形,这是解复杂几何问题的常用技巧.
从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握.
学历训练
,则= .
( “希望杯”邀请赛试题)
,那么= .
(2001年武汉市中考题)
,且满足,那么的值是.
(河南省竞赛题)
,六边形ABCDEF中,AB∥DE且AB=DE,BC∥EF且BC=EF,AF∥CD且AF=CD,∠ABC=∠DEF=120°,∠AFE=∠BCD=90°,AB=2,BC=1,CD=,则该六边形ABCDEF的面积是.
,,则的值为( )
C. 5 (2003年杭州市中考题)
、3块橡皮、2本日记本需32元;买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元;则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )
C .30元
(江苏省竞赛题)