文档介绍：第四章需求理论
本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求,主要讨论价格和收入的变化对需求的影响,尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求,主要讨论三个方面的问题:总需求是否还是价格和收入的函数?总需求能否揭示一种消费者偏好?总需求有什么社会福利意义?通过对这些问题的研究,总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间中进行,即假定市场上共有种可供选择的商品。
第一节集值映射
集值映射是研究需求的基本工具,是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上一章中讨论的预算集合同价格与收入之间的对应关系,以及需求集合同价格与收入之间的对应关系,都是集值映射的典型事例。
所谓集值映射,是指集合与元素(点)之间的某种对应关系,或者说是一种取值为集合的映射。具体来说,设和是两个集合,如果对于种的任何一个元素,都有的一个子集与之对应,则这种对应关系就称为从到的集值映射,并记作。为了方便起见,今后我们把集值映射也简称作集映。
对于这个概念,我们可作两个方面的理解。首先,通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数,即对于自变量的每一种取值,与之对应的因变量的值是唯一的;集值映射则实际上是多值映射,即对于自变量的每一种取值,与之对应的因变量的值是可能有多个。其次,也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射,即把看成是的幂集的元素,这样一来,就变成了从到的单值映射。因此,集值映射也可记作。
图4-1 集值映射的图像
集值映射还可看作是乘积集合的子集。具体来讲,确定了的一个子集,这个子集称为集值映射的图像(如图4-1所示)。显然,不同集映的图像是不同的。集映确定以后,其图像也就唯一确定下来。反过来,只要图像得以确定,集映也就唯一确定了。因此,可把集映与其图像等同看待。
对于集值映射,如果对任何,都有,则称为对应。所以,对应是取值为非空集合的集映,也是人们更为感兴趣的集值映射。
在集值映射下,的子集的像集是指集合:
,集映叫做:
(1) 闭(紧、凸)集值的集映,如果对任何,都是的闭(紧、凸)子集;
(2) 在点处上半连续,如果对于中任何包含的开集,都存在的邻域使得;
(3) 上半连续的集映,如果对任何, 都在处上半连续;
(4) 在点处下半连续,如果对中任何与相交的开集,都存在的邻域使得;
(5) 下半连续的集映,如果对任何, 都在处下半连续;
(6) 在点处连续,如果在点处既上半连续,又下半连续;
(7) 连续的集映,如果对任何, 都在处连续;
(8) 闭集映,如果的图像是积空间的闭子集;
(9) 开集映,如果的图像是积空间的开子集。
集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广,上半连续性说的是不会突然彭胀,下半连续性说的是不会突然收缩。关于的集映连续性,下面三个定理是基本的和重要的。
定理1. 设和都是拓扑空间,且为Hausdorff空间。又设是闭集值的集映,且包含在的某紧子集当中。则上半连续的充分必要条件是为闭集映。
定理2. 设是第一可数空间,是Hausdorff空间,是集映,为某个给定的点,在该点处的值是闭集,且存在的邻域使得包含在的某紧子集当中。则在处上半连续的充分必要条件是:对任何及任何序列和,当且时,。
定理3. 设和是第一可数空间,是对应,为给定的点。则在处下半连续的充分必要条件是:对于任何及中任何收敛于的序列,存在中收敛于的序列满足。
推论. 设和都是拓扑空间,且为Hausdorff空间,为闭集值的闭集映,为某个给定的点。如果存在的邻域使得包含在的某紧子集当中,则在处上半连续。
这个推论直接从定理1得到,它比定理1可能更为有用。定理2和定理3分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式,因而也是很有用的,为研究集值映射提供了极大的便利。
第二节需求的连续性
根据消费最优化确定的需求,是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生变化时,需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律,就是当价格和收入变化不大时,需求也不会发生很大的变化,即需求是随价格和收入连续变动的。
预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性,就很难保证当价格和收入的变化很小时,需求的变化也很小。因此,为了考察需求的变动规律,需要先来考察消费预算的变化规律。
命题1. 设消费集合是商品空间的非空闭子集,则预算集映是闭对应。
证明:预算集映是对应,这是明显的事实。以下来证明是闭集映,即证明的图像是的闭子集。为此,设为中的任一序列,且。
为了证明是闭集,只需证明(即,也即)。事实上,从立即可知。在此式两边取极限即可得
到:。故。
命题2. 设消费集合是的下有界非空闭子集,则预算集映上