文档介绍：一、协方差
二、相关系数
§ 协方差及相关系数
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。。协方差相关系数
一、协方差
定义1:称数值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X,Y的协方差,记为Cov(X,Y)(Covariance)或σxy,即:
σxy=Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (1)
说明:
1) 由定义1,若(X,Y)是离散型的,则
若(X,Y)是连续型的,则
2) 由方差的定义知D(X)= σxx,D(Y)= σyy
。。协方差相关系数
3) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
=σxx+σyy+2σxy (4)
4) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (5)
且由方差的性质3知:当X,Y相互独立时,σxy=0,但反之不一定。
反例:设(X,Y)的联合密度是
f(x,y)=
,x2+y2≤1
0 ,其它
求:σXX,σXY,σYY
σxy=Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (1)
。。协方差相关系数
反例:
设(X,Y)的联合密度是
解:
E(X)=E(Y)=0
σXX=σYY=1/4 ,σXY=0
故X与Y不相互独立
可见σXY=0是随机变量X与Y独立的必要条件而非充分条件.
f(x,y)=
,x2+y2≤1
0 ,其它
σxy=Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (1)
。。协方差相关系数
注:对二维正态向量而言,σXY=0是X,Y相互独立的充要条件。§,Y独立的充要条件是ρ=0,以下例题将证明ρ=0与σXY=0等价。
例1 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求σXY。
解:
E(X)=μ1,E(Y)=μ2,σXX=σ12,σYY=σ22
。。协方差相关系数
例1 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求σXY。
。。协方差相关系数
二、协方差的性质
1. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
2. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) ,a,b是常数
3. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
4.
, 等号成立当且仅当存在常数a和b,使成立.
三、相关系数
定义2
为随机变量X,Y的相关系数(分母不为零),有时简记ρ
显然,对二维正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ22, ρ)而言,其相关系数为ρ.
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ρxy的含义:
以X的线性函数a+bX来近似表示Y,以均方误差
来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度,e越小表示a+bX与Y的近似程度越好,因此,我们取a,b使e取到最小
定义2
。。协方差相关系数
解得
由(8)易得
定理
1) |ρxy|≤1
2) |ρxy|=1的充要条件是:存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1
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相关系数ρxy的含义: ρxy是一个可以用来衡量X,Y之间线性关系紧密程度的量,当| ρxy |较大时, X,Y就线性关系而言联系较紧密,我们称X,Y线性相关的程度较好,当| ρxy |=1时, X,Y 之间以概率1存在着线性关系,当ρxy =0时,称X和Y不相关。
说明:
1)当X,Y相互独立时,ρ=0,但反之却不一定,只有在二维正态向量中X,Y相互独立<=> X,Y不相关(ρ=0)
2) ρ是表征X,Y的线性关系的, ρ很小并不说明X,Y之间没有关系,如若X~N(0,1),Y=X2,则ρxy=0,但Y是X的二次曲线
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