第6章 矩阵的相似变换.pdf

文档介绍：第六章矩阵的相似变换§§§§ö−−141ö−1ç√ç√引例已知A=ç√130p=ç√1ç√ç√è↵002è↵1则−1−−411ööö−2−−12ööç√ç√ç√=22p=ç√ç√Ap=ç1301√ç√ç√==2ç12√=ç√ç√ç√ç√ç√ç√è0021↵è↵è↵2è12↵è↵-2-一、特征值和特征向量定义设A是n阶方阵,如果数和λn维非零向量p满足App=λ(1)则称为λA的特征值,非零向量p称为A的对应于(或属于)特征值的λ特征向量。把(1)改写为(A−=λEp)0(2)λ是A的特征值⌠λλ使得(A−=Ex)0有非零解⌠AE−=λ0(A−=λEx)0的所有非零解向量都是对应于λ的特征向量.-3-a11−λaa121Lnaaa−λf()λλ=−AE=21222LnMMMan12aanLnn−λnnn−1=−(1)(−1λλ+L++cc10)是关于λ的一元n次多项式,称为A的特征多项式。而f(λλ)0=AE−=称为A的特征方程。由代数基本定理,特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此,n阶方阵在复数范围内恰有n个特征值。nnn12nsf(λ)=(−1)(λ−λ12)(λ−−λ)L(λλs)λ,λλ,,其中12Ls为互不相等的特征值,且n12+n+L+=nns称ni为特征值的λi重数-4-ö−−141ç√例1求矩阵A=ç√130的特征值和特征向量。ç√è↵002解:特征多项式−1−−λ41AE−λ=−130λ002−λ−14−−λ=−(2)λ13−λ=(2−λ)(−(1+λλ)(3−+)4)2=(21−−λλ)()所以A的特征值为λ1=λλ23==1,2.-5-ö−−141ç√A===1,解方程组(A−=λ1Ex)0ç√ç√è↵002ö−−241ö120ç√rç√A−λE=AE−=120¾¾♦0011ç√ç√ç√ç√è↵001è↵000ìxx12=−2同解方程组为í,令x2=1,得基础解系îx3=0ö−2ç√p=1基础解系的个数与1ç√ç√特征值重数不相等è↵0因此,对应于特征值λλ12==1的所有特征向量为kp11(k1¹0)-6-ö−−141ç√A==2,解方程组(A−=λ3Ex)0ç√ç√è↵002ö−−341ö101ç√rç√A−λE=AE−=2110¾¾♦−0113ç√ç√ç√ç√è↵000è↵000ìxx13=−同解方程组为í,令x3=1,得基础解系îxx23=ö−1ç√基础解系的个数与p=13ç√特征值重数相等ç√è↵1因此,对应于特征值λ3=2的所有特征向量为kp33(k3¹0)-7-öµ1ç√µ例2求矩阵A=ç√2的特征值ç√Oç√è↵µn解:特征多项式µλ1−µλ−对角阵的特征值AE−λ=2O就是对角线元素µλn−=(µ12−λ)(µ−−λ)L(µλn)n=(−1)(λ−µ12)(λ−−µ)L(λµn)所以A的特征值为λ1=µ1,λ22=µ,L,λµnn=.-8-二、特征值和特征向量的性质定理1设λ是方阵A的特征值,p12,pp,,Ls是属于λ的特征向量,则p12,pp,,Ls的任意非零线性组合仍属于λ的特征向量。A(k1p1+k22p++Lkpss)=k1Ap1+k22Ap++LkssAp=k1λp1+k22λλp++Lkpss=λ(k1p1+k22p++Lkpss)-9-öa11aa121Ln二、特征值和特征向量的性质ç√aaaA=ç√21222Lnç√MMOMç√定理2è↵an12aanLnn设n阶方阵A特征值为λ1,λ2,L,λn,则(1)λ1+λ2+L+λn=a11+a22+L+ann(2)λ1λ2Lλn=A称作矩阵A的迹(trace),记为tr(A)-10-