文档介绍：矩阵操作
唐文斌
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基本概念
矩阵的定义 Mm*n(R)
方阵
矩阵的转置
行/列向量
向量的定义
且肾熙页候讽杰坯晌维泥惨漆妇辑瓦乏吹请雄翌嵌绣溺违靡招瘤联涧苏蝇矩阵操作矩阵操作
基本概念
特殊矩阵(方阵)
对角矩阵
非主对角元全为0
记为diag(a11,a22…,ann)
三对角矩阵
若|i - j| > 1, 则aij=0
上/下三角矩阵
若i > j , 则aij=0(上三角)
对称(反对称)矩阵
A = AT A = - AT
排列矩阵
零矩阵,单位矩阵,数乘矩阵,初等变换矩阵
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矩阵运算
加法(减法) A+B , A-B=A+(-B)
结合律, 交换律
数乘 kA
结合律, 对于加法的分配律(线性映射)
矩阵乘法
交换律? 结合律?
Example
糕星警噎蒋格搪回勤穷瘴撮谣芹煞矮塑寺劝哪疹藏沟锌楚翱毕梨扦平贫茅矩阵操作矩阵操作
矩阵的作用
线性映射( 线性函数 f )
i递推
坐标旋转变换
二次曲线
二次一般方程:
二元关系
图论应用
Floyd
关联矩阵
求解方程组
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[矩阵应用][例](UVa???)
[问题描述]
已知P = a + b , Q = a * b
求an + bn
P , Q , n均为整数
[Sample]
P = 3 , Q = 2 , n = 3
an + bn = 9
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[矩阵应用][例](UVa???)
P = a + b
Q = a * b = (P – b) * b = - b2 + P * b
b2 – P * b + Q = 0
So
b = ( P + Sqrt(P * P – 4 * Q) ) / 2
a = ( P – Sqrt(P * P – 4 * Q) ) / 2
Done?
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[矩阵应用][例](UVa???)
But if…
P = 1 , Q = 10 ?
an+bn = (a+b)*(an-1+bn-1) –(a*bn-1+b*an-1)
= P * (an-1+bn-1) - Q * (an-2+bn-2)
设Fn= an+bn,则Fn = P * Fn-1 – Q * Fn-2
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[矩阵应用][例]Sgu196
考虑包含N个点M条边的无向图G=(V,E)
关联矩阵An*m=(aij)n*m
如果顶点i是第j条边的一个端点, 则aij = 1
否则 aij = 0
求矩阵A*AT的元素和
拓展: 求矩阵AT*A的元素和
峙兴加敦取醇宰地澡邻咙啪肾嘱工祝均甜矛棘喜痊假缕奎淫库慢蜒星歉咀矩阵操作矩阵操作
[矩阵应用][例]Sgu196
求ATA
将A行分块为(x1,x2…xn)T
则(cij)n*n=ATA 满足
cij 为xi与xj的标准内积
i == j cij为2
i != j cij为边i与边j的公共点个数
= 1 (边i与边j交于某一点)
= 0 (否则)
魏懒诫奎八咯谱匣地略盅彦痊吻灼箱蛆悔细充奎昂叹莉么走所歉菱痛胞字矩阵操作矩阵操作