文档介绍：芅立体几何中的向量方法(二)——(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cosθ=|cos〈m1,m2〉|.袀(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足sinθ=|cos〈m,n〉|.芇(3)求二面角的大小肆1°如图①,AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉.蒁荿2°如图②③,n1,n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉.,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到莂平面α的距离d=.(请在括号中打“√”或“×”)蒃(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( × )蒀(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( × )羀(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. ( × )肆(4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π]. ( √)薄(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l和α所成角为30°. ( √)袃(6)若二面角α-a-β的两个半平面α、β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是π-θ. ( × )-l-β的大小是,m,n是异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m,n所成的角为( )螆A. B. C. B羁解析∵m⊥α,n⊥β,衿∴异面直线m,n所成的角的补角与二面角α-l-∵异面直线所成角的范围为(0,],莃∴m,,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于( ) B蒄解析 P点到平面OAB的距离为蒂d===2,=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),∵n·a=-8-3+3=-8,|n|==3,薀|a|==,莁∴cos〈n,a〉===-.螈又l与α所成角记为θ,即sinθ=|cos〈n,a〉|=.-AB-β棱上的一点,分别在平面α、β上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB- 90°螀解析不妨设PM=a,PN=b,如图,羆作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,袂∵∠EPM=∠FPN=45°,蕿∴PE=a,PF=b,螈∴·=(-)·(-)蒃=·-·-·+·羄=abcos60°-a×bcos45°-abcos45°+a×b羁=--+=0,***∴⊥,芃∴二面角α-AB-β的大小为90°.螁肀题型一求异面直线所成的角薆例1 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )羃A. B. C. ,利用向量、 B肆解析建立坐标系如图,螄则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).袄=(-1,0,2),=(-1,2,1),薀cos〈,〉==.,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角的范围是θ∈,两向量的夹角α的范围是[0,π],所以要注意二者的区别与联系,应有cosθ=|cosα|.腿已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )***A. B. C. C螃解析如图,=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2),蕿∴=(0,-1,1),膆=(0,-1,2),蒃∴cos〈,〉==.肈题型二求直线与平面所成的角蚈例2 如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,薅垂足为H,PH是四棱锥的高,(1)证明:PE⊥BC;肀(2)若∠APB=∠ADB=60°,,本题可通过建立坐标系,利用待定系数法求出平面PEH的法向