文档介绍：§
通过定义来求定积分通常是较困难的,我们将设法寻找其它计算途径。
我们已经知道,原函数与定积分是从两个角度引进来的概念。但是,经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力,发现了它们之间的联系,从而定积分的计算将通过不定积分来完成。
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积分上限的函数
设函数f(x)区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b](x)在部分区间[a,x]上的定积分
如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,记
称其为f(x)的积分上限函数(变上限函数)。
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积分上限函数的性质
原函数存在定理:若函数f(x)区间[a,b]上连续,则其积分上限函数
在[a,b]上可导,
且导数为
证
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原函数存在性定理的注解
1:闭区间上的连续函数f(x)先求变上限积分,再求导数,其结果还原为f(x)本身。
2:积分上、下限中有一个为常数,另一个为变量,积分下限为常数,积分上限为变量;
变上限是单独的x,而不是x的其它函数形式
如何计算:只要将等式右边用积分上限x代替被积函数中的积分变量t即可。
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例题与讲解
例:求下列函数的导数
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例题(涉及复合函数求导)
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有用的结论
结论:
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例题
例:
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例题与讲解
求极限
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例题与讲解
例:求
分析:这是型不定式,应用洛必达法则.
解:
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