§6.4正定二次型和正定矩阵.ppt

文档介绍：第四节正定二次型和正定矩阵正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有广泛的应用。引例定义如果n元实二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx,x=(x1,x2,,xn)0(xRn),恒有xTAx>0,就称xTAx为正定二次型;称矩阵A为正定矩阵。定理:n元实二次型(标准形) f(x1,x2,,xn)=d1x12+d2x22++dnxn2正定的充分必要条件是di>0(i=1,2,,n)。定理:非退化线性替换不改变二次型的正定性。证:若f(X)正定,即g(Y)正定,定理对于n阶实对称矩阵A,下列命题等价:(1)xTAx是正定二次型(或A是正定矩阵);(2)A的正惯性指数为n;(3)f的规范形为(4)A的n个特征值1,2,,n都大于零。(5)存在可逆矩阵P,使得PTAP=E,即A与单位阵合同;性质若n元二次型xTAx正定,则(1)A的主对角元aii>0(i=1,2,…,n);(2)A的行列式detA>0。如何判断正定?(左上角主子式)都大于零。(证明略)例1判断正定性例3证明:若A是正定矩阵,则A1也是正定矩阵。例4证明:若A是n阶可逆实对称矩阵,则ATA也是正定矩阵。例2求参数t的范围,使二次型正定补充:其他有定二次型定义如果x=(x1,,xn)T0,恒有二次型(1)xTAx0,则称xTAx为半正定二次型;(2)xTAx<0,则称xTAx为负定二次型;(3)xTAx0,则称xTAx为半负定二次型。正定、半正定、负定、半负定二次型统称为:有定二次型。不是有定的二次型,就称为不定二次型。