文档介绍：莂线性代数公式肀莇1、行列式螅行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;螃代数余子式的性质:薈①、和的大小无关;膆②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;袅③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;袀代数余子式和余子式的关系:艿设行列式:袄将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;羅将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;芀将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;螇将主副角线翻转后,所得行列式为,则;羇行列式的重要公式:肅①、主对角行列式:主对角元素的乘积;蚁②、副对角行列式:副对角元素的乘积;葿③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;蚆④、和:副对角元素的乘积;膅⑤、拉普拉斯展开式:、肂⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;袇⑦、特征值;蒅对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;芄证明的方法:腿①、;蕿②、反证法;芄③、构造齐次方程组,证明其有非零解;芄④、利用秩,证明;薀⑤、证明0是其特征值;肇芇2、矩阵莄是阶可逆矩阵:羁(是非奇异矩阵);蝿(是满秩矩阵)肆的行(列)向量组线性无关;蒄齐次方程组有非零解;蒂,总有唯一解;芆与等价;袅可表示成若干个初等矩阵的乘积;薄的特征值全不为0;袃是正定矩阵;羈的行(列)向量组是的一组基;袈是中某两组基的过渡矩阵;蚄对于阶矩阵:无条件恒成立;罿蚀蚆矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;螄关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:莀若,则:膈Ⅰ、;莅Ⅱ、;袄②、;(主对角分块)螁③、;(副对角分块)袀④、;(拉普拉斯)膄⑤、;(拉普拉斯)袃膂3、矩阵的初等变换与线性方程组芈一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;***等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;羃对于同型矩阵、,若;艿行最简形矩阵:羀①、只能通过初等行变换获得;羆②、每行首个非0元素必须为1;肃③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;蚀初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)蒈若,则可逆,且;螅②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;膃③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;肁初等矩阵和对角矩阵的概念:膀①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;螈②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;芃③、对调两行或两列,符号,且,例如:;蒂④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;蚇⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;薇矩阵秩的基本性质:莃①、;袂②、;荿③、若,则;芅④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)蒃⑤、;(※)聿⑥、;(※)螇⑦、;(※)肄⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)蒃 Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);蒀 Ⅱ、蕿⑨、若、均为阶方阵,则;***三种特殊矩阵的方幂:薂①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;袁②、型如的矩阵:利用二项展开式;羇 二项展开式:;袆 注:Ⅰ、展开后有项;蚂Ⅱ、节Ⅲ、组合的性质:;虿③、利用特征值和相似对角化:蚅伴随矩阵:螂①、伴随矩阵的秩:;蚃②、伴随矩阵的特征值:;***③、、蚈关于矩阵秩的描述:袂①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)螀②、,中有阶子式全部为0;衿③、,中有阶子式不全为0;蒇线性方程组:,其中为矩阵,则:羂①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;膁②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;薀线性方程组的求解:芅①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);肂②、齐次解为对应齐次方程组的解;薁③、特解:自由变量赋初值后求得;肈由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:羄①、;肂②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)羂③、(全部按列分块,其中);螀④、(线性表出)肇⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)膂腿4、向量组的线性相关性膈个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;螆个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;芁含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;薀①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)羀②、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)薅③、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)蚅矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)羁;(例15)莈维向量线性相关的几何意义:薈①、线性相关;蚅②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);莂③、线性相关 共面;肀线性相关与无关的两套定理:莇若线性相关,则必线性相关;螅若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)螃若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:薈若线性无关,则也线性无