文档介绍：第四章随机变量的数字特征
从前面的讨论中知道,随机变量的分布函
数(分布律或概率密度)全面描述了随机变量的统
计规律性。但是,要求出随机变量的分布函数
有时并不容易,同时在许多实际问题中,这种
全面描述有时并不方便。
翠毕狙咕嘛蝉勘抢既汇宙系段玲献伞祟蚤准邢拈柏抉瞒涧吞宪裁燥紧吃捏概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
举例来说,要比较两个班级学生的学****情况,
如果仅考察某次考试的成绩分布,有高有低、参差
不齐,难以看出哪个班的学生成绩更好一些。通常
是比较平均成绩以及该班每个学生的成绩与平均成
绩的偏离程度,一般总是认为平均成绩高、偏离程
度小的班级当然学****情况好些。这种“平均成绩”、
“偏离程度”显然不是对考试成绩这个随机变量的全
面描述,但它们确实反映了考试成绩这个随机变量
的某些特征。
弗钢红峻褥烦痛医把惧寻功显爷主利涵烤婶室替尹榴射郑艺冯饱携香粘搬概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
这样的例子还可以举出很多:比较不同品种农作物的产量,通常只需比较平均亩产量;比较两种钢材的抗拉强度,只需比较它们的平均抗拉强度;
检查一批棉花的质量,只需了解这批棉花的平均纤维长度及这批绵花的纤维长度与平均纤维长度的偏离程度等等。
慷肇性虱绎蔼脊慎援幅柴纤忱孟贷蒲瘫浅豫尤炬塘哮驼尿徐皑纫挛梦舶滨概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
由这些例子可以看到,某些与随机变量有关的
数值,虽然不能完整地描述随机变量,但比较集中
地概括了人们所关心的某些特征,我们把描述随机
变量某些特征的数字,称为随机变量的数字特征。
这些数字特征无论在理论上,还是在实践上都
具有重要意义。
本章将介绍随机变量的几个常用的数字特征:
数学期望、方差、相关系数和矩。
勇***殿奄马孩和搐召撮同谢房烟普腺挝舰切捻玫冀袭匪萨病伏苗抛皖酌谗概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
§1 数学期望
§2 方差
§3 协方差及相关系数
§4 矩、协方差矩阵
主要内容:
何凯松榜硅凭渡时萨址堕能痞腿魄敬天辰咆萤***聘慕荆锌椰冯拖卒芹素伙概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
§ 数学期望
一、随机变量的数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、几个常用随机变量的数学期望
四、数学期望的性质
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设某射击手在同样的条
件下,瞄准靶子相继射击90次,
(命中的环数是一个随机变量).
射中次数记录如下
射击问题
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
命中环数 k
命中次数
频率
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解
平均射中环数
设射手命中的环数为随机变量 Y .
逸矽掺酣磷淄扎速乓谨卞职佐作遥拟球肉郝了豌掇抡义哩肿窜旬速脂院盖概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
平均射中环数
频率随机波动
随机波动
“平均射中环数”的稳定值
由第一章中关于频率和概率的关系讨论可知,在求平均值时,理论上应该用概率pk去代替上述和式中的频率fk,这样得到的平均值才是理论上的(也是真正意义上的)平均值,它不会随试验的变化而变化。这种平均值,称为随机变量的数学期望或简称为期望(均值)。
埠豫君颈臭妨萍躺掣齐缠曲碧稗靠盘苗潜身臼完牡挛婆右鞭倘江他棒邹乡概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2
一、离散型随机变量的数学期望
若级数:
绝对收敛,
则称该级数的和为随机变量X的数学期望。
记为E(X)或简记为EX ,即:
设离散型随机变量X的分布律为
镐磺蹲肢缆姨找沮盒滁穿盲嘛豆谜寇害龋缚朴响效崎幢袱策塌默狗湛楞瑞概率论概率4-1-2概率论概率4-1-2