文档介绍：第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
[知识能否忆起]

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).
(2)商数关系:tan α=.

角
函数
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin_α
-sin_α
-sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
-cos_α
cos_α
-cos_α
sin_α
-sin_α
正切
tan_α
tan_α
-tan_α
-tan_α
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号”.
[小题能否全取]
585°的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选A sin 585°=sin(360°+225°)
=sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°
=-.
2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:选D ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sin θ=-cos θ,∴tan θ=.
∵|θ|<,∴θ=.
θ=2,则=( )
B.-2
D.
解析:选B 原式====-2.
4.(教材习题改编)如果sin(π+A)=,那么cos的值是________.
解析:∵sin(π+A)=,∴-sin A=.
∴cos=-sin A=.
答案:
,tan α=-,则cos α=________.
解析:由题意知cos α<0,又sin2α+cos2α=1,
tan α==-.∴cos α=-.
答案:-
应用诱导公式时应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负号—脱周期—化锐角
.特别注意函数名称和符号的确定.
(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.
同角三角函数的基本关系式
典题导入
[例1] (1)(2012·江西高考)若tan θ+=4,则sin 2θ=( )
A. B.
C. D.
(2)已知sin(3π+α)=2sin,则=________.
[自主解答] (1)∵tan θ+=4,
∴+=4,
∴=4,即=4,
∴sin 2θ=.
(2)法一:由sin(3π+α)=2sin得tan α=2.
原式===-.
法二:由已知得sin α=2cos α.
原式==-.
[答案] (1)D (2)-
在(2)的条件下,sin2α+sin 2α=________.
解析:原式=sin2α+2sin αcos α===.
答案:
由题悟法
+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨).
:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
以题试法
1.(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限,则+的值为( )
B.-3
D.-1
(2)已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α=________.
解析:(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.
(2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β,
∴sin2α=4sin2β,①
tan2α=9tan2β,②
由①÷②得:9cos2α=4cos2β,③
①+③得:sin2α+9cos2α=4,
∵cos2α+sin2α=1,
∴cos2α=,即cos α=±.
答案:(1)B (2)±
三角函数的诱导公式
典题导入
[例2] (1)=________.
(2)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D