文档介绍：,条件分布的数学期望称为条件期望。由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义,引出条件期望的定义。定义1离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为,,对一切使的,称为给定条件下X的条件分布列。此时条件分布函数为;同理,对一切使的,称为给定条件下Y的条件分布列。此时条件分布函数为。故条件分布的数学期望(若存在)称为条件期望,定义如下或。定义2连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为,边际密度函数为和。对一切使>0的,给定条件下X的条件分布函数和条件密度函数分别为,;同理对一切使>0的,给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度函数分别为,。故条件分布的数学期望(若存在)称为条件期望,定义如下或。,所以它具有一般的非条件数学期望的所有性质。性质1若c是常数,则;性质2对任意常数,有;性质3对任意的两个函数和,有;性质4若、相互独立,则。根据此定理,运用归纳法,易得下列推论:推论1,其中均是常数时,特别有。推论2若相互独立,则。注意:对于“和”,不要求相互独立,对于“积”,则要求相互独立。。证明:设平移变换,(为常数),要计算,可取在条件下,的条件期望的加权平均,加在每一项的权重等于作为条件的那个事件的概率,这是一个极为有用的结果,采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法,往往能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。例1假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量,进一步假设每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量,且每个顾客消费的钱数与一天内进入景点的游客数也是独立的,求某天游客总消费钱数的期望值。解:令表示进入这个景点的游客人数,令表示第个游客在这个景点消费的钱数,则所有游客消费的钱数为,现在有而(由与的独立性知)其中。这意味着,因此故由上面的结果可知,某天游客总消费钱数的期望值为300元。例2一矿工被困在有三个门的矿井中,第一个门通过一坑道,沿此坑道走3小时可使他到达安全地点;第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道;第三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选定其中一个门,试问他到达安全地点平均要花多长时间?解:令表示该矿工到达安全地点所需时间(单位:小时),表示他最初选定的门,应用全数学期望公式,有,易知;现在考虑计算。设该矿工选择第二个门,他沿地道走5小时后又转回原地,而一旦他返回原地,问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因此,他要到达安全地点平均还需要小时,故;类似地,有,从而。解得。所以他到达安全地点平均要花15小时。此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似,不再一一做一说明。例3箱内有个白球和个黑球,每次从中随机地取出一球,直到首次取得白球为止,求被取出的黑球的平均数。解:设表示被取出的黑球数,记,定义,如第一个被抽出的球是白色;,如第一个被抽出的球是黑色。则。但是,,于是,,。用归纳法易证。