文档介绍：距离和夹角公式(空间向量)
复习
空间向量的数量积:
空间向量的坐标运算:
a·a=a12+a22+a32
请思考:
|a|2=
|a|=
|b|2=
|b|=
b·b=b12+b22+b32
√ a12+a22+a32
√ b12+b22+b32
问题:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AB,BC,
CC1的中点,那么EF与BG所成角的余弦值为-----
E
F
G
H
D1
C1
B1
A
B
C
D
A1
分析:求两异面直线EF与BG
所成角,平移直线BG至
FH,连EH,组成△EFH,
也就要求∠EFH,只需求
出三角形的三边EF,FH,
EH,利用余弦定理即可
求出∠EFH的余弦值.
注意:求出的余弦值如果是个
正数就为本题的结果,如
果是个负数则要取它的
相反数作为本题的结果.
问题:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AB,BC,
CC1的中点,那么EF与BG所成角的余弦值为-----
G
E
F
D1
C1
B1
A
B
C
D
A1
x
z
y
思路二:利用空间向量的知识,
转化为求 EF和BG的
夹角,进一步转化为求
它们的数量积和长度.
COS<EF,BG>=
解:不妨设已知正方体的棱长
为1个单位长度,且设DA=i
DC=j,DD1=k,以i,j,k为坐标
向量建立空间直角坐标系
D-xyz
则E(1,,0) F(,1,0)
B(-,,0) G(0,1,)
故EF=(-,,0)
BG=(-1,0,)
问题:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为AB,BC,
CC1的中点,那么EF与BG所成角的余弦值为-----
G
E
F
D1
C1
B1
A
B
C
D
A1
x
z
y
COS<EF,BG>=
=
=
=
=(-) (-1)+ 0+0 =
|EF|=
|BG|=
E(1, ,0) F( ,1 ,0)
B(- , ,0) G(0 ,1 ,)
空间两点之间的距离
空间两点间的距离公式:
已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
平面内两点间的距离公式:
已知A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|=
练习
求下列两点之间的距离:
(1)A(1,2,0) B(2,4,3) (2)C(-3,1,5) D(0,-2,3)
=
dA,B=|AB|=
练习:已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:
到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.
解:由|PA|=|PB|得
=
化简得:4x+6y-8z+7=0
夹角
练习:求下列向量的夹角的余弦:
(1)a=(2,-3, 3), b=(1,0,0)
(2)a=(-1,-1,1), b=(-1,01,)
思
考