文档介绍：点到直线的距离公式的七种推导方法
湖南省黄爱民赵长春
已知点直线求点P到直线的距离。(因为特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线)
定义法
证:根据定义,点P到直线的距离是点P到直线的垂线段的长,如图1,
设点P到直线的垂线为,垂足为Q,由可知的斜率为
的方程:与联立方程组
解得交点
函数法
证:点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有,为了利用条件上式变形一下,配凑系数处理得:
当且仅当时取等号所以最小值就是
三、不等式法
证:点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式:
当且仅当时取等号所以最小值就是
四、转化法
证:设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M
显然所以
易得∠MPQ= (图2)或∠MPQ=(图3)
在两种情况下都有所以
五、三角形法
证:P作PM∥轴交于M,过点P作PN∥轴交于N(图4)
由解法三知;同理得
在Rt△MPN中,PQ是斜边上的高
六、参数方程法
证:过点作直线交直线于点Q。(如图1)
由直线参数方程的几何意义知,将代入得
整理后得
当时,我们讨论与的倾斜角的关系:
当为锐角时()有(图2)
当为钝角时()有(图3)
得到的结果和上述形式相同,将此结果代入①得
图五
七、向量法
证:如图五,设直线的一个法向量,Q直线上任意一点,则。从而点P到直线的距离为:
附:
方案一:
设点P到直线的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线的距离为d
方案二:设A≠0,B≠0,这时与轴、轴都相交,过点P作轴的平行线,交于点;作轴的平行线,交于点,
由得.
所以,|PR|=||=
|PS|=||=
|RS|=×||由三角形面积公式可知:·|RS|=|PR|·|PS|
所以
可证明,当A=0时仍适用