文档介绍：第三章线性方程组
用消元法解下列线性方程组:

解 1)对方程组得增广矩阵作行初等变换,有
因为
,
所以方程组有无穷多解,其同解方程组为
,
解得
其中为任意常数。
2)对方程组德增广矩阵作行初等变换,有

因为
,
所以原方程无解。
3)对方程组德增广矩阵作行初等变换,有
,
因为
,
所以方程组有惟一解,且其解为
。
4)对方程组的增广矩阵作行初等变换,有
,
即原方程组德同解方程组为
,
由此可解得
,
其中是任意常数。
5)对方程组的增广矩阵作行初等变换,有
因为
,
所以原方程组无解。
6)对方程组的增广矩阵作行初等变换,有

,
即原方程组的同解方程组为
,
解之得
,
其中是任意常数。
.。
解 1)设有线性关系
代入所给向量,可得线性方程组
,
解之,得
,
因此
。
2)同理可得
。
:如果向量组线性无关,而线性相关,则向量可由线性表出.
证由题设,可以找到不全为零的数使
,
,若,而不全为零,使
成立,这与线性无关的假设矛盾,
,
即向量可由线性表出。
4.,证明:如果,那么线性无关。
证设有线性关系,
代入分量,可得方程组
,
由于,故齐次线性方程组只有零解,从而线性无关。
,.证明:
是线性无关的。
证设有线性关系,则
,
1)当时,方程组中的未知量个数与方程个数相同,且系数行列式为一个范德蒙行列式,即
,
所以方程组有惟一的零解,这就是说线性无关。
2)当时,令
则由上面1)的证明可知是线性无关的。而是延长的向量,所以也线性无关。
,证明也线性无关。
证设由线性关系,则
。
再由题设知线性无关,所以
,
解得,所以线性无关。
,证明:中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.
证设是中任意个线性无关向量组,如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了。
事实上,向量组是线性相关的,否则原向量组的秩大于,,再由的任意性,即证。
,是中的个向量,使得中每个向量都可被它们线性表出,证明:是的一个极大线性无关组。
证由题设知与等价,所以的秩与的秩相等,,故而是的一个极大线性无关组。
:一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。
证将所给向量组用(Ⅰ)表示,它的一个线性无关向量组用(Ⅱ)表示。
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表出,那么向量组(Ⅱ)就是向量组(Ⅰ),向量组(Ⅰ)至少有一个向量不能由向量组(Ⅱ)线性表出,此时将添加到向量组(Ⅱ)中去,得到向量组(Ⅲ),且向量组(Ⅲ)是线性无关的。
进而,再检查向量组(Ⅰ)中向量是否皆可由向量组(Ⅲ),再把不能由向量组(Ⅲ)线性表出的向量添加到向量组(Ⅲ)中去,得到向量组(Ⅳ)。继续这样下去,因为向量组(Ⅰ)的秩有限,所以只需经过有限步后,即可得到向量组(Ⅰ)的一个极大线性无关组。

,,,
,。
证明:线性无关。
把扩充成一极大线性无关组。
证 1)由于的对应分量不成比例,因而线性无关。
2)因为,且由
,
可解得
,
所以线性无关。
再令
,
代入已知向量后,由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0,因而该齐次线性方程组存在非零解,即线性相关,所以可由线性表出。
这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组。
注此题也可将排成的矩阵,再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形,然后得到相应结论。
:
,
解 1)设
对矩阵作行初等变换,可得