文档介绍：重庆三峡学院高等代数论文线性变换的特征值与特征向量系(部):数学与计算机科学学院专业:数学与应用数学学号:200906034210学生姓名:吴文志指导教师:刘学飞(教授)2011年1月线性变换的特征值与特征向量吴文志(重庆三峡学院数学与计算机科学学院数学与应用数学09级2班)摘要:本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值特征向量的几种求法。关键词:矩阵;线性变换;特征值;特征向量1引言在有限维线性空间中,取了一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我们希望找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。在适当的选择基之后,一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式。为了这个目的,先介绍特征值和特征向量的概念,他们对于现行变幻的研究具有基本的重要性。2特征值与特征向量的定义及性质定义1(ⅰ)设A是数域p上的n阶矩阵,则多项式|λE-A|称A的特征多项式,则它在c上的根称为A的特征值(ⅱ)若是A的特征值,则齐次线性方程组(E-A)=的非零解,,如果对于数域P中的一数存在一个非零向量ξ,使得αξ=ξ,,且A可逆,则,:设为A的特征值,则=∴λi≠0(i=1、2…n)设A的属于λ的特征向量为ξ,则,λξ=ξ即有ξ=ξ∴为的特征值,由于A最多只有n个特征值∴为ξ的特征值性质2若λ为A的特征值,则为的特征值,证明:设ξ为A的属于λ的特征向量,则Aξ=λξ∴有:而ξ≠0∴,则a一定是A的特征值证明:设A=则由题设条件知:==a∴a是A的特征值推论若λ为A的特征值,且A可逆,则为的特征值(为A的伴随矩阵)证明:=:与A具有相同的特征多项式,则它们具有相同的特征值性质5如果λ是正交矩阵A的特征值,那么也是A的特征值证明:设λ是A的特征值,那么存在非零向量ξ使得Aξ=λξ用作用之后得ξ=λξ又A的特征值一定不为零,所以λ0是的特征值,又A是正交矩阵=为的特征值又A与相似,与A有相同的特征根也是A特征根性质6设是A对应于特征值的特征向量,是的对应与的特征向量证明:A=则=(1)并有=(2)给(1)右乘以,(2)左乘以相减得:0=-,则=0性质7设A、B均为n阶矩阵,则AB与BA的特征向量相同证明:若λ。是AB的特征值,x是相应的特征向量若BX≠0,则BABX=λ。BX若BX=0,B不是可逆矩阵(否则x=0)∴BA也不是可逆矩阵故必有特征值0,同样AB也有特征值0由此AB与BA有相同的特征值3特征值与特征向量的求法一)矩阵特征值与特征向量的求法传统计算法(ⅰ)求出矩阵A的特征多项式(ⅱ)求出的全部根(ⅲ)把特征值逐个代入齐次线性方程组并求它的基础解系,即为A的属于特征根的线性无关的特征向量下面介绍一种利用矩阵初等变换在求得矩阵根的同时,同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量,而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中定理1设且列初等变换→其中为下三角矩阵,则的主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征