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ΑΒ
ΑΑ
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ΒΒ
õ õ
《数学教学通讯》2003 年 12 月(上半月) (总第 181 期) 重庆· 93 ·
活用均值不等式巧解数学题
(贵州省铜仁市坝黄中学 554307) 杨昌米胡银萍
平均值不等式是高中数学的重要内容, 熟的最小值及取得最小值时 x 的取值.
练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用, 1 1 - co sx
解: y = + =
sinx sinx
可以巧妙地解决许多数学题.
x
1 + tan2
2 x 1 3 x
1 证明不等式+ tan = + tan
x 2 x 2 2
2tan 2tan
这是最为大家常见问题, 问题解决的关键 2 2
是怎样根据题目提供的隐含条件去构造二元或因为 0 < x < ,
x x
三元均值不等式. 所以 0 < < , tan > 0,
2 2 2
例 1 已知 x , y , z ∈ R+ 且满足 x y z (x +
1 3 x
y + z ) = 1, 求证: (x + y ) (y + z ) ≥ 2. 即 y ≥ 2 tan = 3.
x 2 2
2tan
证明: (x + y ) (y + z ) = 2
x y + x z + y 2 + y z = x 3
“= ”成立时 tan = , x = .
1 2 3 3
y (x + y + z ) + x z = y + x z =
x y z 即当 x = 时, y 取最小值 3.
3
1 1
+ x z ≥ 2 x z = 2. 证毕. 本题虽关于三角函数, 可以用三角函数的
x z x z
其它方法求解, 但是用均值不等式可以减少运
此题从“2”这个数字, 提示我们构造二元
算量, 不过值得注意的是一定要看“= ”能不能
均值不等式.
成立.
2 求最值例 3 设S n = 1 + 2 + 3 + ⋯+ n, n ∈ N,
S n
高中数学很多地方涉及求最值, 利用均值求 f (n) = 的最大值. (2000 年全
(n + 32)S n+ 1
不等式中等号成立的条件, 可以解决很多问题. 国高中数学联赛)
2 - co sx
例 2 设 0 < x < , 则函数 y =
sinx
证明: 延长A R、A Q 交B C 于A 1、A 2, 延长同理可得: A Q ∶QA 2 = 3∶2.
B R 交A C 于B 2, 设∠A B R = , ∠RB C = . 所以 RQ ∥A 1A 2, 且
由角分线定理得: 3 1
RQ = A 1A 2 = B C.
A R A B sin A B sin B C 5 5
= = - 1 1
RA 1 B A 1 sin B C sin B A 1 同理 Q P = A B , P R = A C.
5 5
A B 2 B C 1 3
- 3 - . 所以△PQ R ∽△A B C , 相似比为 1∶5.
B 2C B A 1 2 2
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· 04 · 重庆《数学教学通讯》2003 年 12 月(上半月) (总第 181 期)
S n y 3 - y 2 = k (x 3 - x 2) ,
解: f (n) = =
( )
n + 32 S n+ 1 1
y 1 - y 2 = - (x 1 - x 2).
n (n + 1) k
2
= 又A 、B 、C 三点在抛物线上,
(n + 1) (n + 2)
(n + 32) 2 2 2
2 所以 y 1 = x 1, y 2 = x 2, y 3 = x 3, 代入上面两
n 1
= 式得 x 3 = k - x 2, x 1 = - - x 2.
(n + 32) (n + 2) k
由于 A B = B C , 即
n 1
=
n2 + 34n + 64 64
n + 34 + ( ) 2 ( ) 2
n x 1 - x 2 + y 1 - y 2 =
2 2
64 64 (x 3 - x 2) + (y 3 - y 2) ,
又因为 n + + 34 ≥ 2 n + 34