文档介绍：§ 三维晶格的振动
本节讨论三维晶格振动,得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论。
一、运动方程及其解
设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3;
沿基矢方向晶体各有N1、N2、N3个原胞,即晶体一共有N=N1N2N3个原胞;
每个原胞内有n个原子,质量为
个原胞第p个原子的平衡点位置矢量为
第
原胞内第p个原子的位置矢量。
每个原胞中,n个不同原子平衡位置的相对坐标为
该原子相对于平衡点的位移为
它沿坐标轴的分量为
上式是3nN个相耦合的运动方程组。
是原子(l,p)与原子(l’,p’)之间的准弹性力系数
第p个原子在
方向的运动方程为
把一维晶格动力学方程的试解加以推广,设三维晶格行波试解为:
将试解代入运动方程,可得到3n个线性齐次联立方程(由于晶格的平移对称性,使得3nN个联立方方程组减少到3n个):
使
有非零解的条件是系数行列式等于零:
由此可得到3n个色散关系
每个色散关系代表一支格波,共有3n支格波。
格波的色散关系中,有3支当
另外,3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动,称为光学支。
这三支称为声频波,
它们是描述原胞与原胞之间的相对运动,其色散关系在长波近似下与弹性波类似,称为声学支;
波矢空间以
二、周期性边界条件确定模式数目
波矢q为
为倒基矢,则
根据波恩-卡门边界条件
或写成
由(6)式,得
边界条件表示,沿着
方向,原胞的标数增加
振动情况相同。
即
也就是说
应用到关系
为整数。代回(4)式
代表q空间均匀分布的点子.
若
是倒格矢,则
不变。
因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。