文档介绍：第1章矢量分析
矢量分析与场论基础
矢量场的通量散度
标量场的梯度
矢量场的环流旋度
亥姆霍兹定理
矢量分析与场论基础
1、标量与矢量
2、矢量的表示方式
一、矢量与矢量场
图形表示:带有箭头的线段,
标量:只有大小、没有方向的物理量(如温度、高度等),用它的大小就能完整地描述物理量
矢量:既有大小、又有方向的物理量(如力、电场强度等)
数学表示:
箭头表示的方向
空矢(零矢):
唯一不能用箭头表示的矢量。
线段的长度
3、标量场与矢量场
物理量(如温度、电场、磁场等)在空间以某种形式分布,若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值( ),则称在该空间中确定了该物理量的场。
占有一个空间, 在该空间区域内处处连续(除有限点或表面外)。
场的分类:
按物理量的性质
按物理量变化特性
二、矢量的运算(以直角坐标系为例)
场概念的引入:
场的属性:
1、矢量的加、减法
1)矢量的加法符合交换律和结合律
(2)矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解
2、矢量的点乘
(1)矢量与标量点乘
(2)矢量与矢量点乘
说明:
a、两个矢量的点积为标量
(3)矢量与矢量叉乘(矢量积)
a、两个矢量的叉积为矢量
说明:
b、矢量的点积符合交换律和分配律
说明:
b、矢量的叉乘不符和交换律,但符合分配律
c、平行四边形面积,方向:垂直于所在的平面
d、矢量运算恒等式
三、常用正交坐标系
1、直角坐标系(略讲)
基本变量:
单位矢量:
分别代表增加的方向,相互垂直且满足右手螺旋法则
矢量表示:
各方向的微分元与各自坐标的微分之比
微分长度元:
面元:
体元:
位置矢量:
矢量运算:(见前)
2、圆柱坐标系:
基本变量:
单位矢量:
矢量表示:
拉梅系数:
分别代表增加的方向,相互垂直且满足右手螺旋法则
(1)圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系
位置矢量:
微分长度元:
体元:
面元:
拉梅系数:各方向的微分元与各自坐标的微分之比
说明:
由于不是常矢量,与有关,可得
(2)圆柱坐标系下矢量运算
3、球面坐标系:
基本变量:
单位矢量:
矢量表示:
位置矢量:
微分长度元:
面元:
体元:
拉梅系数:
说明:(1)球面坐标系与直角坐标系的变换关系
由于不是常矢量,与有关,可得