文档介绍：走近数学王国……数论学****收获与体会这学期我们在老师的引领指导下学****了初等数论这门课。光阴如水,韶华易逝,转眼间,我们已完成了这门课的学****又到了一段时光的终结,又是一个总结的时刻。学****收获与体会第谭我们学****了整数的惟…分解定理。学****了整除的定义,乂由整除的定义出发,给了儿条性质,其中我印象最为深刻的是:如果cla,clb,则对任意的整数m,n,有clma+nb。又给了一个定理:设a,b是两个整数,其中b>0,则存在两个唯一的整数q和r,使得a=bq+r,0<=r<b成立。我认为这个定理是数论的基础与灵魂。我们又由上述定理和整除定义出发,研究了最大公因数与辗转相除法还有最小公倍数。而素数,整数的惟一分解定理的出现又使得数论进入更有趣的环节,任一大于1的整数都能表示成惟一一种形式的素数的乘积,这是一个多么美妙的定理,它是一种同一性的体现,好比上帝面前,众生平等。在数学王国里,只要你是整数,不管你大还是小,都必须得服从这条规则。这又好比,无论一个人地位高低,在历史面前都仅仅是一粒微小的尘埃,在时间的长河屮都不过是一滴渺小的水滴。可见数论虽是理性的科学,但却也透射出生命的意义,也有着一种哲学的意蕴。厄拉多筛法的出现教会了我们构造素数的方法,素数的无穷性证明更是充满了智慧的结晶与饱满的趣味。第二章我们学****了同余式。由同余的定义我们可知道它是一种自反,对称,传递的关系,是一种等价关系。抽彖代数中的同余与等价关系的定义也是由数论衍生出来的,可见数论在数学界的举足轻重的地位。我觉得比较经典的定理是:如果a和b对模数m同余,则f(a)和f(b)对模数m同余,其中f(x)为任意给定的一个整系数多项式。关于完全剩余系我觉得比较经典的定理是:设ml>0,m2>0,(ml,m2)=l,而xl,x2分别通过模数ml,m2的完全剩余系,则m2xl+mlx2通过模数mlm2的完全剩余系。我觉得这个定理的出现便给了我们一种由两个模数互素的完全剩余系推演模数为那两个模数乘积的完全剩余系的方法。缩系是在与模数m互素的全部剩余类屮,各取一数所组成的集合。说到缩系,就不得不提欧拉函数,欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数,它的值等于序列0,1,2,……,n-1中与n互素的数的个数。因此,模数m的一组缩系含有欧拉函数个数。当p是素数时,欧拉函数=»1。缩系的很多性质与定理和完全剩余系都是类似的,一些问题的证明方法也大体相同。由缩系的相关性质推出了费马小定理,它是后面内容学****的基础。设n的标准分解n=plAal*p2Aa2 pkAak,则欧拉函数=n(l-l/pl) (l-1/pk)。我特别喜欢这个定理。一次同余式偏于计算与实践,它是基于之前的费马小定理推算出来的。孙子定理中我印象比较深刻的是:一次同余组x=bl(modml),x=b2(modm2)可解的充分必要条件是(ml,m2)Ibl-b2,且当其可解时对模数[ml,m2]有唯一解。第四章我们学的是二次剩余。二次剩余是判断二次同余式是否有解的方法。勒让德符号:设p为奇素数,(p,n)=1,令(n/p)=1,若n是模数p的二次剩余,=-1,若n是模数p的二次非剩余。高斯利用他证明出来的高斯引理证明了二次互反律:设p>2,q>2是两个素数,p不等于q,则(p/q)(q/p)=(-l)A((p-l)(q-l)/4)。计算勒让德符号,需要把n分解成