文档介绍：李燕芝:e 的奥妙·1·
e 的奥妙

(师范学院数学系,数学与应用数学专业李燕芝)
(学号:2001123116)

摘要:本文介绍了 e 的发现,e 的性质,含 e 函数的美妙性质,e 与数学常量的关系,
数理统计中的 e,最后介绍了 e 在艺术和自然界中的奥妙。
关键词:自然对数的底,超越数,指数函数
教师点评:本文深入研究介绍了重要常数 e 的发现,e 的性质,与 e 相关的指数函数与对数
函数的美妙性质,指数函数与三角函数、双曲函数的关系,e 与其它有关数学常量的关系,e 在
数理统计中的地位以及 e 在反映自然增长与社会变化方面的奥妙。全文史料丰富、立论严谨、分
析透彻、行文流畅、结构清晰,对于人们深入而准确地认识重要常数 e 具有重要指导意义。全文
书写格式正确、规范,题名、作者、摘要、关键词、参考文献等项目齐全且符合深圳大学毕业论
文书写规范,表现出作者已经具有良好的文献检索、分析与综合的能力,具有撰写科技或教育论
文的能力。这是一篇优秀的本科毕业论文。(点评教师:张文俊教授)

e 是一个重要的数学常数,指数函数、对数函数、双曲函数、微积分都离不开它;e 在自然
科学和艺术中也有着重要的地位和作用。但是,很多人并不十分了解 e。本文通过查阅大量数学
史料,研究了 e 的来历及其美妙性质和用途。
1 e 的发现
π的故事要回到远古的年代,而 e 的故事只有大约四个世纪。π是来源于一个几何问题,即
如何找到圆的面积和周长;而 e 的来源就不那么明确了,这要回到十七世纪。在十七世纪初,有
一个匿名的商人发现了金钱的增长和一个无穷的数学表达式间有种奇妙的关系。当我们投资 P
元在一个银行账户上,每年的年利率为 r%,经过 t 年后,我们最终可拿到的本息为 S=P(1+r) t 。
但很多银行在计算增长的利润时通常都不是整年整年的计算,而经常是半年、一季度、一周或者
1
甚至是每天。所以银行则不能用年利率来算,比如半年,则只能用 r 来算,则上述公式变为
2
r
S=P(1+ ) nt 。如果一年按不同时期来划分,那么年终能拿到的钱分别是多少呢?人们发现,按
n
每天来算比按周、季度、半年或年来算所得的利润都要多,这个结果令人大吃一惊。为了进一步
1
揭示这个问题,我们做了一些假设。设 r=1,t=1,则我们可以得到 S=(1+ ) n 。结果人们发现,好
n
像无论 n 增加多少,都很难影响这个表达式的结果。即当 n 无限增大时,该表达式的值都趋近于
1
⋯如果(1+ ) n 有极限,那它的值应该是多少呢?当然我们不能只是取个很大的 n 值代入
n
计算得出结论。幸运的,我们知道(a+b)n 的展式是以 Pascal 的三角形为系数的 n+1 项的和,n
为正整数。牛顿于 1665 年冬天扩展了该展开式,即当 n 为分数或负数时的情况。我们利用牛顿
1
的二项式定理,当 a=1,b= 时,则有
n
1 1 2 1 2 n −1
(1−Λ) (1−)(1−) 1i| (1j−) (1−)
1
(1+ ) n =1+1+ n + n n +Κ+ n n n . ()
n 2! 3! n!
1
李燕芝:e 的奥妙·2·
当 n →∞时,
1 1 1
lim(1+ ) n = 1+1+ + +Κ=⋯
n→∞ n 2! 3!
1
因此,e 就成为第一个以极限形式被定义的数,即 e= lim(1+ ) n 。欧拉于 1727 年就已经用字
n→∞ n
母 e 来代表数 ⋯,欧拉成为最早发现此数的人。

2 e 是无理数和超越数
欧拉证明过任何有理数都能被写成一个有限的连分数,即任何一个无理数都能被一个无限的
连分数所表示。欧拉发现:
1
e= 2 + ()
1
1+
2
2 +
3
3 +
4
4 +
5 +Κ
因此,欧拉成为第一个指出并证明 e 为无理数的人。
在杰出的数学家欧拉之前,很多数学家已经注意到在无理数中,有一类数它们不是以有理数
为系数的代数方程式的解,这一类数被称为超越数。法国著名数学家刘维尔(,1809~
1882)于 1844 年第一次证明了超越数的存在,并且证明了e不可能是有理系数的二次方程的根。
法国著名数学家厄米特()于 1873 年证明了 e 为超越数。其证明如下:
Κ
假设 e 为代数数,即存在不全为零的整数 a0 ,a1 , am