文档介绍：2005 届优秀毕业论文[设计]集(第五册理学院)
Collection Graduation Theses (Projects) of SZU 2005 (VOLUME V School of Science)

一类变时滞泛函微分方程的解

(深圳大学理学院数学与应用数学系陈雯雯)
(学号:2002144038)

内容提要:本文研究了一类变时滞泛函微分方程初值问题解的存在唯一性,用多种方法证明
了这类问题解的存在唯一性结论,它是常时滞泛函微分方程(特别是常微分方程)相应结论的推
广。最后,我们还用上述结论构造了几个一般教科书上没有的实例。
关键词:变时滞泛函微分方程、解的存在唯一性、不动点
教师点评:本文用不同的方法,特别是不动点方法研究了一类变时滞泛函微分方程初值问题
解的存在唯一性,结论及其证明正确,思路清晰,有一定的理论价值和实际意义,它是常时滞微
分方程(特别是常微分方程)相应结论的实质上的推广。证明手法巧妙,并有一定的难度和创新,
表明作者有较好的数学修养和善于思考问题并解决实际问题的能力。这是一篇优秀的本科毕业论
文。(点评教师:林壮鹏,副教授)

§1 引言
时滞微分方程是泛函微分方程中的一类重要的方程,它在许多领域,如生物数学中都有重要
的应用。例如文[1]中就研究过如下一类变时滞微分方程
n
′
x ()tatxtxtrt=−∑ ii ()[] () + 1 ⋅() −()
i=1
解的性态,上述方程的一种特殊情况就是方程
x′()tatxtxtrt=−()[ () + 1] ⋅( −())
要研究这种方程解的性态,首先要知道该方程的解是否存在,如果存在,是否唯一。只有在解的
存在唯一性条件下,才能去研究它的解的性态(如稳定性等).在这里,我们研究了一类更一般的变
时滞微分方程初值问题
⎪⎧x′(tftxtxtrt )=−( , ( ),( ( ))) , 0 ≤≤ tT
⎨()
⎩⎪xt( )=−≤≤ϕ( t ), r (0) t 0
解的存在唯一性。在给出定理并证明时,我们要用到下列一些已知的结果:
引理1[6] (Banach 压缩映象原理,1922)设 X 是 Banach 空间,T : X → X 是压缩映射,
即存在常数 01≤<L ,使对所有 x, yX∈,有 Tx− Ty≤− L x y ,则T 在 X 中恰有一个不
%
动点。设这个不动点为 x ,则对任何初始点 x0 ∈ X ,逐次迭代点列 xnn+1 = Tx (n=0, 1, 2,……) 收
敛于 x%。
引理 2[7] (推广的 Banach 压缩映象原理)设 X 是 Banach 空间, B 是 X 到 X 的映射,如
- 1 -
陈雯雯:一类变时滞泛函微分方程的解

果存在一个自然数 n ,使得 Bn 是 X 上的一个压缩映射,那么映射 B 在 X 中必有唯一的不动点。
引理[4]( 不等式)设+ ,这里+ 表示区
3 Gronwall mv,[,],∈+ C( t00 t h R ) Ctt([,00+ hR ], )
+
间[,tt00+ h ]上非负连续函数全体, R = [0, +∞) , k ≥ 0 ,且
t
mt()≤+ k vsmsds () () ttth∈[,+ ]
∫t 00
0
则
t
vsds()
∫t0
mt()≤ ke ttth∈[,00+ ]
特别,当 k =0 时, mt()≡ 0 ∀ttth∈+[,00 ]

§2 定理及其证明
定理设 21满足: 2 有
1 f (,txy , )∈+∞× C()[ 0,) R , R ∀(,tx11 , y ),(, tx 2 , y 2 )∈+∞×[ 0, ) R
f (,tx11 , y )−≤−+− ftx (, 2 , y 2 ) L( x 1 x 2 y 1 y 2)
其中 L ≥ 0 为常数。
设 rt()是[0,T ] (0)T > 上有连续导数的正值函数,且存在正数σ> 0 ,使1()0−≥>rt′σ,
∀∈tT[0, ]
又设ϕ():tr[−→(0),0] R1 连续,则变时滞泛函微分方程初值问题()在[−rT(0), ] 上存
在唯一解 x%()t ,且迭代序列
⎧ϕ(),tr −≤≤(0) t 0
xt0 ()= ⎨
⎩ϕ(0), 0 ≤ tT≤
ϕ(trt ), −(0)≤≤ 0
⎪⎧
xtn ()= ⎨ t
ϕ(0)+−≤≤f ()s