常微分方程数值解（3）.pdf

文档介绍：第五章常微分方程数值解
§ 常微分方程组
和边值问题的数值解法
§ 常微分方程组和高阶
微分方程的数值解法简介
一、常微分方程组的数值解法
下列包含多个一阶常微分方程的初值问题
ìy1¢ = f1(x, y1 , y2 ,L, yn ) y1(x0 ) = y10
ï
ïy2¢ = f2 (x, y1 , y2 ,L, yn ) y2(x0 ) = y20
í ----------(1)
ï LLL
ï ¢
îyn = fn (x, y1 , y2 ,L, yn ) yn (x0 ) = yn0
称为常微分方程组的初值问题
(1)式具有n个未知函数
做如下假设
y
æ y ö æ f (x,Y )ö æ y1(x0 )ö æ 10 ö
ç 1 ÷ ç 1 ÷ ç ÷ ç ÷
y (x ) y
ç y2 ÷ ç f2 (x,Y )÷ ç 2 0 ÷ ç 20 ÷
Y = F(x,Y ) = Y0 = Y(x0 ) = ç ÷ = ç ÷
ç M ÷ ç M ÷ M M
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
y ç ÷ yn (x ) yn
è n ø è fn (x,Y )ø è 0 ø è 0 ø
则(1)式化为矩阵形式
ìY¢ = F(x,Y )
í ----------(2)
îY(x0 ) = Y0
只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为
函数向量,即可得到相应的常微分方程组的数值解法
这里只介绍求解微分方程组的计算机实现
首先编制微分方程组的函数文件:
function z=F(x,Y)
z=F(x,Y); F为微分方程组的文件名
然后使用求解命令ode45 xspan为需求值的节点向量
[x,Y] = ODE45('F',xspan,Y0) Y0为函数向量的初值
x为自变量,Y为函数值矩阵
例1. 求解微分方程组(0 £ x £ 2)
y1¢ = x ­ y1 + 2y2 y1 (0) = 0
y2¢ = 2x ­ 3y1 ­ 5y2 y2 (0) =
解: 首先编制微分方程组的m文件
function z=fun(x,y)
z(1)=x-y(1)+2*y(2);
z(2)=2*x-3*y(1)-5*y(2);
z=z';
再编写求解程序
xspan=0::2;
y0=[0,]';
[x,y]=ode45('fun',xspan,y0)
plot(x,y)

Y Y1
运行 Y2
后得 1

0
-
0 1 2
x
二、高阶常微分方程的数值解法简介
例2. 求下列高阶微分方程的数值解
y¢¢¢ ­ 3y¢¢ ­ y¢y = 0
(0 £ x £ 2)
y(0) = 0, y¢(0) = 1, y¢¢(0) = ­1
解: 显然 y¢¢¢ = 3y¢¢ + y¢y
¢¢
假设 y1 = y y2 = y¢ y3 = y
¢ ¢
则 y1 = y2 y2¢ = y3 y3 = 3y3 + y2 y1
y1 (0) = 0, y2 (0) = 1, y3¢¢(0) = ­1
即二阶问题化为微分方程组的初值问题
y¢ = y
ì 1 2
ï
ï y2¢ = y3
í
y¢ = y + y y
ï 3 3 3 2 1
ï
î y1 (0) = 0, y2 (0) = 1, y3¢¢(0) = ­1


function z=gaojie(x,y)
z=[y(2);y(3);y(1)*y(2)+3*y(3)];
x y
function gaojiefangcheng() 0 0
xspan=0::1;
y0=[0,1,-1]';
[x,y]=ode45('gaojie',xspan,y0);
[x,y(:,1)]
plot(x,y(:,1))
xlabel('x')
ylabel('y')
-
-
-



0
y
-
-
-