文档介绍：第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图2、重要公式和结论(1)联合分布离散型如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。设=(X,Y)的所有可能取值为,且事件{=}的概率为pij,,称为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……这里pij具有下面两个性质:(1)pij≥0(i,j=1,2,…);(2)连续型对于二维随机向量,如果存在非负函数,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有则称为连续型随机向量;并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质:f(x,y)≥0;(2)(2)二维随机变量的本质(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:(1)(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即当x2>x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)≥F(x,y1);(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即(4)(5)对于.(4)离散型与连续型的关系(5)边缘分布离散型X的边缘分布为;Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为;在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:①可分离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立,h,g为连续函数,则:h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。特例:若X与Y独立,则:h(X)和g(Y)独立。例如:若X与Y独立,则:3X+1和5Y-2独立。(8)二维均匀分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)~U(D)。、。y1D1O1 O (9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)~N(由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即X~N(但是若X~N(,(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算:对于连续型,fZ(z)=两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。,Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互独立,其分布函数分别为,则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为:分布设n个随机变量相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布,记为W~,其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性:设则t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为t分布,记为T~t(n)。F分布设,且X与Y独立,可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1,n2).(X,Y)共有六个取正概率的点,它们是:(1,-1),(2,-1),(2,0),2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同,则(X,Y)的联合分布及边缘分布为YX-1012p1·100020300p·:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中求X的边缘密度fX(x):设随机变量X以概率1取值0,而Y是任意的随机变量,证明X与Y相互独立。:,f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3,不独立。:f(x,y)=:设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X~U(0,1),Y~e(1),求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。:设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为而Y的概率密度为e(