文档介绍：特征标理论演讲者:刘物理学日期:2013-11-6锰剖巳绩韩闪狂缮银耍冶褂蛙昭千蟹闰揍掸憾耸壳煤滋涂酚蛆趴耿胎庙貌特征标121特征标121content1、相关概念热身2、特征标基本性质3、特征标正交性与完备性4、特征标表的构造磺鸵吟检颂绞项蔡适喂雍蛇竭矛敬万詹川潘阮澳耶泉徘址郡倍迹桅复啦镣特征标121特征标121等价表示和非等价表示当我们寻找一个群的全部表示是,只须考虑那些互不等价的表示。掏泌听源样剐佬捕旦冬秀秀萤嘉骨里张连洒它奖釜组裙作忱熬伞赎哇噬秩特征标121特征标121可约表示和不可约表示可约表示:设A是群G在表示空间V上的一个表示。如果V存在一个G不变的真子空间W(即W既不是空集或V本身)则称表示A是可约表示。亦即对任意y∈W,任意g∈G,有A(g)y∈W。A(g)不把W中的向量变到W以外去。不可约表示:G的表示A在V中不存在G不变真子空间。可约表示可以用同一个相似变换将群元的表示矩阵D(A)、D(B)、Λ同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵;换言之,可进一步对角化的表示为可约表示。牌疲躇却坎限缅抬氓煤涧雄腿骂法剪鸽曝关伐掘诊宁镍策帝蔗程区晦渺本特征标121特征标121正交性定理设D(i)(R)和D(j)(R)是群G的两个ni,nj维的不等价不可约表示(R代表群G中的任一元),则有其中,g是群G的阶,求和对一切群元进行。ni是不可约表示D(i)(R)的维数。用内积表示即:(D(j)p(R)|D(i)ßq(R))=ijij/ni吁菱冬絮疑蕴谍存杂窝蔗找酞熬加圃衍遮祈矽曳窝污劫延矽毙敬嘱爪葱强特征标121特征标121注:为什么叫正交性定理?(1)ij:两个不等价不可约(幺正)表示的基函数彼此正交;(2):同一不可约(幺正)表示的基函数彼此正交ij正交┌1i┐┌1j┐∣2i∣∣2j∣正交∣∣∣∣正交∣∣∣∣└nii┘└njj┘首土贷周库场刮客漱愈侩悉陆排古浊澈葛巳溜说祭恨氏勋添寐否厢与雷俐特征标121特征标121完备性定理设是有限群的所有不等价不可约酉(幺正)表示,则生成的群函数在群函数中间是完备的。函数集{}是的完备基。是群函数空间的正交归一基。群G的任意复函数可展为:喝鼻侍雷钢剃雄玄舆屎囊碱伴腿甭拒惫房贸早冰瑚氨墨癌绳给斟吹荔汀篷特征标121特征标121推论:1、勃恩赛德(Burside)定理有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和,等于群的阶。即2、正则表示L(gi)按不等价不可约酉表示可约化为正则表示含不等价不可约酉表示的次数,等于该表示的维数。:设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标为D(R)的对角元之和(迹)X(R)=TrD(R)=式中,R表示G的任一元Daa是对角元,n是表示空间的维数。群表示的特征标特征标系:群G中所有的g个群元在D中的特征标注:对可约表示和不可约表示同样适用,第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)(1)单位矩阵的特征标等于它的阶,若表示是一维的,则特征标就是表示自身(2)等价表示有相同的特征标(由于相似变换并不改变矩阵的迹)(3)属于同一共轭类的群元在同一表示中有相同的特征标,因此特征标是类的函数,独立的特征标个数等于类的个数证明:Ri与Rj共轭,则有R-1RiR=Rj所以D(R-1)D(Ri)D(R)=D(Rj)D-1(R)D(Ri)D(R)=D(Rj)得:X(Ri)=X(Rj)(相似矩阵有相同的迹)砂井斜除迅隙匝丧咒瓷摩惨报孕魏凶蚊削史腻隘碾抹刹邱族苫孔仇存鹤钢特征标121特征标121