文档介绍：:..Dirac符号系统与表象一、,它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外,也可以不取定表象,正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量,而不用具体坐标系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一样。量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的,本质是一个线性泛函空间,所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。(1).右矢空间力学量本征态构成完备系,所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢(或基组),即右矢空间中的完备的基本矢量(简称基矢)。右矢空间的任一矢量|ψ>可按该空间的某一完备基矢展开。例如:=annn(2).左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量,记为<|。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间,<ψ|和|ψ>称为伴矢量。<p’|,<x’|,<Qn|组成左矢空间的完备基组,任一左矢量可按其展开,即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。(3).伴矢量<ψ|和|ψ的>关系|ψ按>Q的左基矢|Qn>展开:|ψ>=1a|Q1>+a2|Q2>+...+a3|Q3>+...展开系数即相当于Q表象中的表示:a1a2an<ψ|按Q的左基矢<Qn|展开:<ψ|=a*1<Q1|+a*2<Q2|+...+a*n<Qn|+...展开系数即相当于Q表象中的表示:+=(a*1,a*2,...,a*n,...)ψ同理某一左矢量<φ|亦可按Q的左基矢展开:<φ|=b*1<Q1|+b*2<Q2|+...+b*n<Qn|+...ba。显然<φ|ψ*>=<ψ|>φ。对于满足归定义|ψ和><φ|的标积为:*nnn一化条件的内积有:a*a1。这样,本征态的归一化条件可以写为:nnnp'|p''(p'p'')连续谱x'|x''(x'x'')连续谱Q|Qnmnm分立谱由此可以看出:<ψ|和|ψ>满足:a)在同一确定表象中,各分量互为复共轭;b)由于二者属于不同空间所以它们不能相加,只有同一空间的矢量才能相加;c)右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算,其结果为一复数。(4).本征函数的封闭性a)分立谱展开式:=aQQ|a(t)Q|Qa(t)a(t)nnmnmnnmnnnnn可得:||QQ|nnn因为|ψ>是任意态矢量,所以:|QQ|1nnnb)连续谱对于连续谱|q>,q取连续值,任一状态|ψ展>开式为:|a(t)|qdqq||qdqq|因为|ψ>是任意态矢量,所以:|qdqq|1这就是连续本征值的本征矢的封闭性。c)投影算符|Qn><Qn|或|q><q|的作用相当一个算符,它作用在任一态矢|ψ>上,相当于把|ψ>投影到左基矢|Qn>或|q>上,即作用的结果只是留下了该态矢在|Qn>上的分量<Qn|ψ>或<q|ψ。>故称|Qn><Qn|和|q><q|为投影算符。因为|ψ>在X表象的表示是ψ(x,t),所以显然有:x|(x,t)|xx|**(x,t)在分立谱下:|QQ|1x|QQ|x'xx|'nnnnnn所以u*(x')u(x)(xx')。nnn在连续谱下:|qdqq|1x|qdq|qx|xx所以u*(x')u(x)dq(xx')。qq上述讨论即本征矢的封闭性,其与完备性的区别如下:u*(x)u(x)dxnmnmnun*(x')u(x)(xx')nu'*xuxdxqq()()(qq')u*(x'q)u(x)dq(xqx')正交归一性的表示式是对坐标的积分,封闭性的表示式是对本征值的求和或积分。所以,我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性,也是本征函数完备性的表示。(1).右矢空间X表象下:??(x,t)F(x,p)(x,t)在一般Dirac表象下:?|F|Q|mn?F|QnQn|利用分立谱下的完备性可以得到:Qm?|Q|Fm|写成矩阵形式为:Q1|Q1|?F|Q,Q11|?F|Q2,Q1|Q|Q|22?F|Q1,Q2|?F|Q2,Q2|Q?n|QQ|F|Qn1n|即Q表象下ψ=F。φ平均值公式:F|F?|。利用利用分立谱下的完备性可以得到:?F|QQ|F|QQ|mmnnmn*aFammnnmn(2).共轭式(右矢空间)*?|QQ|*Q|F|QQ|mmmnnn*FQ|F*|Q(F)|Qmnnnmnnmnnnn??|QQ|F|Q|F|Qnnmmn从而可以得到:||F?。如果F?为厄米算符,则有||F?。表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上,也可以向左作用到左矢量上。例:力