文档介绍：的有关性质[知识归纳]圆的有关概念:、圆的外部、同心圆、等圆;、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、内接多边形、多边形的外接内接四边形的外角。圆的对称性是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,有无数条对称轴圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;圆具有旋转不变性。圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。I』垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦:③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。心角的度数等于它所对的弧的度数。圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90。的圆周角所对的弦是直径;如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1推论2推论3圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。,并且任何一个外角都等于它的内对角。探8・轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。(1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆;平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。[例题分析]:如图1,在00中,半径0M丄弦AB于点N。图1若AB= ,0N=1,求MN的长;若半径0M二R,zAOB=120°,求MN的长。解:①.AB=2羽,半径OM1AB,/.AN=BN=^3\ON=1,由勾股定理得OA=2/.MN=OM-ON=OA-ON=1②.•半径OM1AB,且zAOB=120° ..zAOM=60°-R/ON=OA-cos2AON=OMcos60°=’MN=0M-0N=R--R=-R22••说明:如图4,一般地,若zAOB=2n°,OM±ABTN,AO=R,ON=h,JUOAB=2眛MN=R-hAM=—2Rsinn°=2htann。二 :如图2,在^ABC中,^ACB=90°,zB=25。,以点C为心、AC为半n径作OC,交AB于点D,求也的度数。分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。解法一:(用垂径定理求)如图2-1,过点C作CE1AB于点E,又tzACB=90°,zB=25°,=25°・••处的度数为25°,.・.几的度数为50%解法二:(用圆周角求)如图2-2,延长AC交0C于点E,连结ED解法三:(用•AE是直径,・・.zADE=90°•.nACB=90°,zB=25°,.・.zE=zB=25°n.•/D的度数为50°o心角求)如图2・3,连结CD\^ACB=90°,zB=25°,.4=65。•・CA=CD,・・.zADC=zA=65°=50°,・•・显的度数为50%例3•已知:如3,^ABC内接于00且AB=AC,00的半径等于6cm,0点到BC的距离0D等于2cm,求AB的长。析:因为不知道nA是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部,还可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论。略解:(1)假若nA是锐角,aABC是锐角三角形。如图3,由AB二AC,可知点A是n优弧的中点,因为0D丄BC且AB二AC,根据垂径定理推论可知,D0的延长线必过点A,连结B0B0=6,0D=2BD=JOB2-OD2=762-22=472•在RMADB中,AD=DO+AO=6+2==4AD1+BD1=佃+(4屈尸=4^6(cm)(2)若zA是钝角,则AABC是钝角三角形,如图3-1添加