文档介绍：:..圆内接四边形[学****目标],四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。四边形中不相邻的两个角互称为对角。所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆。,并且任何一个外角都等于它的内对角。【典型例题】,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=110°,则∠BCD=_________。解:∵∠BOD=110°,∴∠BAD=55°又∠BAD+∠BCD=180°∴∠BCD=180°-55°=125°:如图,∠APC=∠BPC=60°,则∠BAC=__________。解:∵∠APC=∠BPC=60°∴∠APB=120°,BC=AC∵四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA=60°,故填60°点拨:本题较综合,考察:①相等的圆周角所对弦相等,②圆内接四边形对角互补,③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。例3..如图所示,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD=130°,则∠BOD的度数是____________。(2002年陕西)解:∵∠BCD+∠BAD=180°又∠BCD=130°∴∠BAD=180°-130°=50°∴∠BOD=2∠BAD=2×50°=100°常见错误:一是计算错误,二是将∠BAD误认为是∠BOD而产生错误。例4.⊙O和⊙O'交于A、B两点,过B的直线分别交⊙O和⊙O'于点C、D,G是两圆外一点,GC、GD分别交⊙O和⊙O'于点E、F。求证:∠EAF=∠C+∠D证明1:如图,连结AB∵四边形ABCE内接于⊙O∴∠GEA=∠ABC同理,∠GFA=∠ABD∴∠GEA+∠GFA=∠ABC+∠ABD=180°∴∠G+∠EAF=180°∵∠G+∠C+∠D=180°∴∠EAF=∠C+∠D证明2:如图所示,连结BA并延长交GD或DG延长线于M∵四边形ABCE、四边形ABDF分别内接于⊙O和⊙O'∴∠MAE=∠C,∠MAF=∠D∴∠EAF=∠MAE+∠MAF=∠C+∠D点拨:本题利用“圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角”证题,注意这种转换。,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接⊙O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交⊙O于点M。求证:(1)DB=DC(2)点悟:(1)由于DB与DC是同一三角形的两边,要证二者相等就应先证明它们的对角相等,这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到;(2)欲证乘积式,只须证比例式,也即,这只须要证明△DCM∽△DNC即可。证明:(1)∵AD平分∠EAC∴∠EAD=∠DAC=∠DBC又ABCD内接于⊙O∴∠EAD=∠DCB故∠DBC=∠DCB∴DB=DC(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC∴△DMC∽△DCN故点拨:本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法。本题曾是1996年南昌市中考试题。,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB与DC,AD与BC分别相交于圆外一点M、N。求证:BM∶MC=DN∶NC