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浙江省衢州市龙游阳光小学(324000) 董丽君
    在新课程改革与实验中,相比较而言,对于应用问题(即传统的应用题)的讨论与研究是比较多的,从教学目标和存在形态的变化到教学内容与学习方式的改进等等。本文试图以三年级学生理解和倍、差倍关系的实验研究为例,以图形等式表征应用问题的数量关系,通过图形等式推算获得问题的解决,通过从同构异素的问题情境中概括出相同的数学结构模式,增进学生对应用问题特征的理解,并以此降低应用问题学习的难度,培养学生的代数思维能力。
为了方便表达,对本文涉及的应用问题的类型与相关术语作一些解释说明。如以下3个应用问题:
    问题1 食堂做肉包子80个,做菜包子的数量是肉包子的3倍。肉包子和菜包子一共做了多少个?
    问题2 食堂共做肉包子和菜包子共320个,菜包子的数量是肉包子的3倍。肉包子和菜包子各做了多少个?
    问题3 食堂共做菜包子比肉包子多160个,菜包子的数量是肉包子的3倍。肉包子和菜包子各做了多少个?
    上面3个应用问题的基本数量关系都可以概括为“1份数×(倍数±1)=几份数”。其中问题1是先求倍,再求和,即求倍求和问题。把求倍求和问题进行可逆性变换,就得到问题2,这种类型称为和倍问题。问题3是差倍问题。
    在两步计算的应用问题中,求倍求和问题是重要的类型,而和倍、差倍问题则因为“比较难”,没有进入到传统教材中作为一般学习的要求。但是,和倍、差倍问题的数学结构模式存在于一般的分数应用问题与比例应用问题之中,如以下两个应用问题:
    问题4 食堂做肉包子和菜包子共320个,肉包子的数量是菜包子的13。菜包子做了多少个?
    问题5 食堂做肉包子和菜包子共320个,肉包子与菜包子的数量比是1∶3。菜包子做了多少个?
    这也就是说,学生在学习整数应用题时,是不涉及和倍、差倍问题的,但是在学习分数或比例应用问题时,则需要重新构建和倍、差倍的数学结构模式,这是一个“系统漏洞”。如果在整数应用问题的学习阶段,构建起和倍、差倍问题的数学结构模式,打上“系统漏洞的补丁”,不仅可以使教材前后知识的逻辑关系更加严密,而且有利于学生沟通此类分数、比例应用问题与整数应用问题的本质联系,这对于优化学生的知识结构,培养学生的学习能力都是比较有益的。
    我们的实验与研究主要围绕三个核心的问题进行:知识如何在教材中呈现?学生以怎样的方式学怎样?
    如前所述,求倍求和问题的可逆变换就是和倍问题,把和倍问题和的表述句转化为差的表述句,就是差倍问题。这些数学知识之间的内在联系是学生学习的重