文档介绍：解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备::在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理)2)锐角之间的关系:A+B=90°;3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)sinA=cosB=a,cosA=sinB=b,tanA=a。c c :在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示 A、B、C的对边。1)三角形内角和:A+B+C=π。2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R(R为外接圆半径)sinA sinB sinC3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2=2+c2-2cos;2=2+2-2cacos;2=2+2-2cos。abbcAbcaBcababC3 .三角形的面积公式:1)2)S=1aha=1bhb=1chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);2 2 2S=1absinC=1bcsinA=1acsinB;2 2 :由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边),这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、:(1)两类正弦定理解三角形的问题:第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 .第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角 .2)两类余弦定理解三角形的问题:1、、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 .,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。(1)角的变换因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。sinABcosC,cosABsinC;22222)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,:1)分析:分析题意,弄清已知和所求;2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;3)求解:正确运用正、余弦定理求解;4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例1.(1)在ABC中,,,,解三角形;(2)在ABC中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形(角度精确到01,边长精确到1cm)。解:(1)根据三角形内角和定理,C1800(AB)1800();根据正弦定理,;(cm)根据正弦定理,(cm).(2)根据正弦定理,<B<1800,所以B640,或B1160.①当B640时,C1800(AB)1800(400640)760,2casinC20sin76030(cm).sinAsin400②当B1160时,C1800(AB)0(4001160)0asinC20sin24018024,csin40013(cm).sinA点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2:,sinAcosA2,AC2,AB3,求tanA的值和ABC的面积。2解法一:先解三角方程,求出角A的值。sinAcosA2cos(A45)2,12cos(A45).2又0A180,A4560,(4560)1323,13sinAsin105sin(4560)(26)。2244解法二:由sinAcosA计算它的对偶关系式sinAcosA的值。sinAcosA2①2(sinAcosA)2122sinAcosA120A180,sinA0,(sin2A1)23(sinAcosA)212sinAcosA3,2sinAcosA6②2①+②得sinA26。4①-②得cosA26。4sinA26423。从而tanA426cosA以下解法略去。点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?题型3:△A