文档介绍：第一章函数、极限、连续注“★”、;*;*;*;★§.重要极限;.初等函数的连续性;;&利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式;;10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式;;★.★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数,确定字母常数数值的方法运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题,解决问题。三、无穷小量阶的比较的方法利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则,无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开四、函数的连续少间断点的讨论的方法如果/(切是初等函数,若/(劝在x=x()处没有定义,但在兀()一侧或两侧有定义,则x=x0是间断点,再根据在x=x0处左右极限来确定是第几类间断点。如果/(兀)是分段函数,分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。五、;;1^;lim/(x)=A(oo)lim/(H)=A(oo);;+8 n->oo求数列极限;,则lim%=0;;"=.【评注】,有无穷项和加或相乘,且不能化简,不能利用极限的四则运算,如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在,。因为数列作为函数不连续,更不可导,}中的通项是〃的表达式,即色=/(n).而lim/©)与lim/(Q是特殊与>CO A—>00一•般的关系,由归结原则知有豐戈川)丄=防⑴力或二/(丄)丄=防⑴心口nn /=o门n第二章一元函数微分学★一、求一点导数或给出在一点可导推导某个结论的方法:利用导数定义,经常用第三种形式二、研究导函数的连续性的方法:1•求illf(x),(兀)的连续性,★三、求初等函数的导数的方法:在求导Z前尽可能的化简,把函数的乘除尽量化成加减,利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等,从而简化求导过程•要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算,、求分段函数的导数的方法:求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。在分界点(1)若在分界点两侧的表达式不同,求分界点的导数有下述两种方法:利用左右导数的定义。 (ii)利用两侧导函数的极限。若在分界点两侧的表达式相同,求分界点的导数有下述两种方法:(i)利用导数定义。 (ii)利用导函数的极限。★五、求参数式函数的导数的方法兀=(p(t\dy如伽在且咖0,则达喘dtdy:凹)’dt_0⑴'dx2dxdx(p\t)dt★六、求方程确定隐函数的导数的方法:解题策略求方程/(x,y)=g(x,y)确定的隐函数y=)心)的导数时,由y是x的函数,此时方程两边是关于x表达式的恒等式,两边同时对x求导,会出现含有y'的等式,然后把y'看成未知数解出即可。★七、求变上下限函数的导数的方法:解题策略利用变上下限函数求导定理,注意化成变上下限函数的成标准形式八、 求函数的高阶导数的方法:求导之前,対函数进行化简,尽量化成加减,再用高阶导数的运算法则九、 方程根的存在性把要证明的方程转化为f(x)二0的形式。对方程f(x)=0用下述方法:★1・根的存在定理若函数f(x)在闭区间[°,切上连续,且/(6/)./(/?)<0,则至少存在一点gw(a,b),使f(^)=0.★(x)的原函数F(x)在[。,方]上满足罗尔定理的条件,则f(x)在(a,b)"+atxn'1+-•+an_xx+an=0(%)hO),当n为奇数时,至少有一个实根。证 设/(x)=aQxn+5兀心+…+色_1兀+%=兀“⑺。+d]—+…+d“_i^T+d“一7)X X X由不妨设ao>0o由于J+g/⑴=+oo,取旳=1,日叫〉0,当x>N°时,都有f(x)>l>Oo取b>N。,有f(b)>0,豐“/(尢)=—00,取M >0,当x<-M时,都有f(x)<-l<Oo取a<-NXb,f(a)<Oo由f(x)在[a,b]连续,f('a)f(b)<0,由根的存在定理知至少存在一点歹丘⑺"),便/@)=,至多有n个不同的实数根。(x)在区间I上连续R严格单调,则f(x)