文档介绍：数学物理方法总结-By慕容沧海第一章:复变函数对于复数的定义及其与平面坐标上的点存在一一对应的关系书本上均有详细的说明,这里就不一一赘述了。★注意到复数的辐角Argz=argz+2k7T(kwZ)不能唯一的确定从而它可以加减2k7T的整数倍,像的主辐角arg(Vz)也就有n个不同的值从而作为多值函数,且Z=0,Z=oo为其n-1阶支点。对于复变函数的和,差积,商的极限的定理,关于实变函数的极限是否存在的依据,可以通过对/(z)=w(x,y)+zv(x,y)的实部和虚部的讨论来确定,显然全都适用于复变数。★复变函数的极限:设w=f(z)=u+iv在z°点的某5邻域有定义,对于任意£〉0,若存在》>0,使得Z-Zo|<J时,有y(Z)-M^V£成立,则称%为ZTZ。时的极限,z^/(z)=wo。Z在全平面内趋于的方式是任意的,若%= ,/(Z)在z°点连续。导数:rJ(z+Az)-/(z) An若lim◎ '八'存在,并且与AztO的方式无关,则称函数△ztOAzw=f(z)=u+iv在z点可导。(注意到我们这里讨论的是在z某个区域上的单值函数,若为多值函数可能有多个/(Z)值与之对应,失去讨论意义)。且需要满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程:(推导见课本P9T0)du3vdxdy< 柯西-黎曼方程只保证AztO沿实轴和虚轴方向OV_OU3xdylim 等于同一极限值,而不能说明AztO的方式是任意Az—>0 Az的,所以柯西-黎曼方程是复变函数可导的必要不充分条件,充分条件为:函数f(z)=u+iv的偏导数存在且连续,并且满足柯西-黎曼方程。(推导见课本pii)极坐标下的形式为:()13vdpp3(p< 现采用极坐标形式另一种方法推导如下:dv_1duBpp3(plirn/(z+Az)-/(z)_1; Q)△qtOAz Ap^OA^M) A^9=0=丄(舉+霁)e®讪Bplim/(z+Az)-/(z)=A^OAzlim△“tOu(P0+A0)+e(p,0+A0)—%(p,0)—e(p,0)i\(ppel<f>..lim/(z+Az)—/(z)二Um/(z+Az)—/(z)AqtOAz Z\0TOAzA^9=0 A/?=0整理可得极坐标下的柯西-黎曼方程。若函数w=/(z)=u+注在点z°及其某个邻域上处处可导则称/(z)在点z°解析。所以/(z)在点Z。处解析一定可导,在点z°处可导则不一定解析,/⑵在点Z。处可导是/(z)在点Z。处解析的必要不充分条件。f(z)=u+iv在某个区域上解析的充分条件为:%,V为该区域满足C-R的共觇调和函数。即满足二维拉普拉斯方程(以下分别为直角坐标和极坐标形式的拉普拉斯方程,做x=pcos0,y=psin3代换采用多元函数求导的链式法则,)32w+1du+132w3/?2p3pp1d(p2★若给定一个二元调和函数U^)或V(X,y),可利用Cauchy-Riemann条件,求出其共辘调和函数v(x,y)或况(x,y),进而确定解析函数第二章:复变函数的积分对于复变函数积分的定义书本上均有详细的说明,这里不再赘述,仅对其一些性质做简单的阐述。\cf(z)dz=\c[u(x,y)+iv(x,y)]d(x+iy)=fcw(x,y)dx-v(x,y)dy+i\cv(x,y)dx+u(x,y)dy一般情况,复变两数的积分值不仅依赖于起点和终点,同时还与积分路径有关。★重要的积分不等式:fc/(z)^z|<fc|/(z)||Jz|,|JC/⑵dz|其中M是<ML|/(z)|在c上的最大值,厶是c的全长。★单通区域柯西定理:若函数/(z)在闭单连通区域B上解析,I为区域B内任意分段光滑闭合曲线,也可以是B的边界线。(证明在格林公式基础上采用Cauchy-Riemann条件可得)单连通区域中解析函数/(Z)的积分值与路径无关。血gdz=J勺/⑵血-卜2/⑵血=onL]f⑵dz=爲/⑵dz★复通区域柯西定理:n若/(z)是闭复连通区域上的单值函数,则曲于⑵血+£曲/⑵dz=0,i=li其中/为区域外边界线,方向为逆时针方向,/•为由一个个孤立奇点组成的区域内境界线,I方向为顺时针方向。(证明将复连通区域分界为一个单连通区域,往返路径相消可得)对于起点和终点固定的复连通区域来说只有当积分路径在变化过程中始终不越过孤立奇点时,积分值才不变,这点与单连通区域有差别。★重要的积分结论:11 _]o,a不包围%)2川z-GZ-1(包围”)曲(z_c)"dz=O(n^-1)★柯西公式:/(Z)在闭单连通区域上解析,/是闭区域的边界线,Q是闭区域内的任一点,则有柯西积分公式弘)=2川短力(证明P29,也可根据上下极限易得)复连通区域内的柯西公式:/⑵二丄血纟⑷do+工