7.1-域的特征 素域.ppt

文档介绍：--域的特征素域1§--域的特征素域2§,e是F的壹,作映射: σ:n→ne,nI。则:1)σ是整数环I到F内的映射。因为eF,所以neF,故σ(I)F。2)σ是整数环I到F内的同态映射。 因为: σ(m+n)=(m+n)e=me+ne=σ(m)+σ(n), σ(mn)=(mn)e=(me)(ne)=σ(m)σ(n)。--域的特征素域3设N是σ的核,则N是I的理想。 从加法角度看N是I的子群,而I在加法下是循环群,由循环群的子群是循环群知,N是由某一元素生成的,设为p,则N={np|nI}=pI可设p≥0,p称为F的特征。由N是σ的核知,对nN,σ(n)=0F。特别地,ppI=N,故σ(p)=pe=0F。设n为乘法单位元e在加法下的周期。下面证明n=p,即p是乘法单位元e在加法下的周期。§--域的特征素域41)当p=0时,N=pI={0}。故 σ(n)=ne=0FiffnNiffn=0=p。 即,e在F的加法群里面的周期是∞。2)当p>0时, σ(n)=ne=0FiffnNiffn=pk,kIiffp|n 再由σ(p)=pe=0F,知n|p。 因此,n=p。这就是说,e在F的加法群里面的周期是p。§--域的特征素域5域F的特征p或等于0或是一个质数。证明:只需证若F的特征p≠0,则p一定为质数。 用反证法。设p不是质数,则p=hk,1<h<p,1<k<p 因此,pe=(hk)e=(he)(ke)。而pe=0F。 因为域中无零因子,所以或he=0F或ke=0F,但这和e的周期为p矛盾。由域是消去环,而消去环中所有不为0的元素在加法下的周期相同,且或为0或为质数。--域的特征素域6§,特征为p的任意域F包含RP为其最小子域。证明:设e是F的壹,作映射σ同前:σ:n→ne,nI。 令I’为I在F内的同态映象:I’=σ(I)={ne|n∈I}, 则I’为环,I~I’,且同态核N=pI。故,I∕pII’。--域的特征素域7若F的特征p为质数,往证F包含RP为其最小子域。 因p为质数,所以I/pI=RP是一个域。 由I∕pII’,知I'是域,因此是F的子域。 任取F的子域F’,则F’必然包含e及其任意整数倍,即,必然包含I',所以I'是F的最小子域。 即,F包含和Rp同构的I'为其最小子域。--域的特征素域8现在用1代表F的壹:e=1,用整数n代表ne。 特征是质数p时,modp合同的整数代表F的同一个元素,Rp的元素写作0,1,…,p-1,则抽象地看,Rp与I'一样。这样,特征为p的域便包含Rp为其最小子域。--域的特征素域9若F的特征p为0,往证F包含R0为其最小子域。 由p=0,知σ的核pI=0I={0},所以I/pI={,{-1},{0},{1},}, 显然I/pII,而I/pII’,故I’I。 I’还不是一个域,故扩充σ:,(n≠0) 往证σ为有理域R0到F内的一个同态映射。--域的特征素域10