文档介绍：蒙特卡罗方法简介
陈萍
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目录
第一章蒙特卡罗方法概述
第二章随机数的产生
第三章 EM算法和MCMC方法
参考书:
茆诗松等, 高等数理统计(第6章),
高等教育出版社,1998;
,蒙特卡罗方法,上海***
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第一章蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。
蒙特卡罗方法是一种计算方法,但与一般数值计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程,解决一些数值方法难以解决的问题,因而该方法的应用领域日趋广泛。
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理论基础:大数定律;中心极限定理; F(X)~U(0,1)。
基本思想:
,或者是某个随机变量的期望,或与概率、数学期望有关的量时,通过某种试验的方法,得出该事件发生的频率,或该随机变量若干个观察值的算术平均值,根据大数定律得到问题的解;
2. 要生成分布函数为F(x)的随机数,可先生成U(0,1)随机数F,则可得到随机数X=F-1(F) 。
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例(利用MC进行欧式期权定价)设股票价格St服从风险中性测度下的几何Brown运动:
其离散化形式为
根据金融工程理论,设现在股票价格为S0,T时刻到期(单位天),敲定价为K的欧式看涨期权的价格为
MC方案:按照(1)递推产生n条风险中性测度下的轨道,提取出ST (n);(2)
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2. 蒙特卡罗方法的误差
根据中心极限定理如果随机变量序列X1,X2,…,XN独立同分布,且具有有限非零的方差σ2 ,即
则
当N充分大时,有如下的近似式
它表明,误差收敛速度的阶为以概率1-α成立。
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通常,蒙特卡罗方法的误差ε定义为
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点:
第一,蒙特卡罗方法的误差为概率误差,这与其他数值计算方法是有区别的。
第二,误差中的均方差σ是未知的,必须使用其估计值
来代替,在计算所求量的同时,可计算出。
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减小方差的各种技巧
显然,当给定置信度α后,误差ε由σ和N决定。要减小ε,或者是增大N,或者是减小方差σ2。在σ固定的情况下,要把精度提高一个数量级,试验次数N需增加两个数量级。因此,单纯增大N不是一个有效的办法。降低方差的各种技巧,引起了人们的普遍注意。
一般来说,降低方差的技巧,往往会使观察一个子样的时间增加。在固定时间内,使观察的样本数减少。所以,一种方法的优劣,需要由方差和观察一个子样的费用(使用计算机的时间)两者来衡量。这就是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为
其中c是观察一个子样的平均费用。
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蒙特卡罗方法的特点
优点
能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。
受几何条件限制小。
收敛速度与问题的维数无关。
误差容易确定。
程序结构简单,易于实现。
缺点
收敛速度慢。
误差具有概率性。
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第二章随机数的产生
逆变换法
设随机变量X的分布函数为F(x),定义
设随机变量U服从U(0,1)分布,则
的分布函数为F(x).
,要生成分布函数为F(x)的随机数,可先生成U(0,1)随机数U,则可得到随机数X=F-1(U)
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