文档介绍：Simpson-Rule-Summary---辛普森法则考虑积分,如果在区间[a,b]内取等间隔的N份,间隔长度为h,简述矩形(、梯形、Simpson法则)计算积分的i)理论、误差精度分析,和算法计算流程。解:对于缓变函数我们可以用各个区间中点上函数值作来近似该区间的平均值其中。矩形法则:f(x)在区间[a,b]上的积分用矩形求积定义如下第i个区间对积分的贡献为:如果围绕该区间中点的邻域内对函数f(x)作泰勒级数展开,有其中,和分别表示了f(x)在处的一阶,二阶和三阶导数。相应地,积分在子区间内的值可以表示为其中第一项是矩形积分的近似值,第二项则由于其中的积分等于零而消除。从而,矩形法则在宽度为h的单个子区间内的最高阶误差由第三项给出在整个[a,b]区间上的总误差则通过将所有N个子区间的贡献相加得到其中我们利用了Nh=(b-a),并且取为f(x)在[a,b]上的二阶导数的均值。梯形法则:如果用一个梯形来近似代替每个子区间的面积,梯形的四个顶点分别位于,,与。梯形的面积为(2-8)对于整个[a,b]区间,积分值由所有窄带的和给出(2-9)与其他值相比,与的贡献只具有一半的权重,这是由于它们位于区间的两个端点。根据Euler-Maclaurin积分求和公式,我们有(2-10)系数为伯努利数,其满足以下下规律:,且当时,。有,而其他所有奇数阶项为零。前几个偶数阶项的值如下更一般的,它们可以通过来生成梯形法则的优点在f(x)的值只在格点(网点)上,即处求出。,此方法中由有限步长引起的误差的预期值是矩形法则中的2倍。而另一方面,梯形法则的简洁性则有助于进行进一步的改进。此方法可以与外插法一起使用而构成一种非常高效的数值积分算法。框图2-1列出了梯形法则算法的主要步骤。该算法还包含了一种方法,即由一个小的子区间数开始,通过循环迭代逐步增加数目,而无需在格点上重复计算被积函数的值。Box2-RAPZ(A,B,KEY,RSLT,H)TrapezoidalruleintegrationArguments:A::=0:Initiateanewintegration;>0::::(KEY=0):(KEY>0):Calculatethecontributionfrompointshalfwaybetweenoldones:(i)and(ii).,积分泰勒展开式中含有f(x)的奇数阶导数的项都将等于零。利用这一性质,我们可以在相邻的两个子区间内对面积作泰勒级数展开,可得积分的精确度可以达到。利用中心差分,可将f(x)的二阶导数近似表为将此结果代入前述中心查分表式,则子区间[xi-1,xi+1]内的积分近似为对于整个[a,b]区间,结果为假设区间的数目N为偶数,则奇数格点的贡献是偶数格点贡献的2倍。这种权重上的差异来自我们为修正基本方法所得的一级结果所引入的f(x)二阶导数的贡献。而两端点和的权重则仅为偶数点的一半。Simpson法则的另一优点在于其自然引出了一种算法,即通过迭代使积分达到所需要的精确度。误差估计---原则上,我们可以通过估计所省略的高阶项大小得出数值计算中的误差。其前提是知道高阶导数(如)的平均值),这样做并不容易。比较相继的两次迭代结果是较为简便的一种方法。例如,如果两次计算值I[a,b]之差小于预设的允许值,则我们认为计算已经达到了所